SURFACES CYLINDRIQUES

461. On appelle surface cylindrique une surface engendrée par une droite qui se meut en restant constamment parallèle à elle-même.

La génératrice sera représentée par les équations

x = az + * , y = éz + p,

dans lesquelles les paramètres a et b sont constants, et les deux paramètres a et p variables. On définira le mouvement de la génératrice, en l'assujettissant à glisser sur une directrice donnée, ce qui fournira une équation de condition 9 (or, p) = 0 entre les deux paramètres variables a et p; On obtiendra l'équation de la surface, en éliminant ces deux paramètre entre les deux équations de la génératrice et l'équation de condition ■ si l'on remplace dans cette dernière a et p par leurs valeurs

GÉOM. ANALYT. 35

x — az, y — bz, tirées des deux premières, on a l'équation de

la surface cylindrique

(i) <p(#. — az,y — bz) = o.

462. Plus généralement, la génératrice peut être représentée par les deux équations

ax-{-by-\-cz-\-d=u , a'x-\-b'y -\-c'z-\- d' = $, dans lesquelles les deux paramètres a et p sont seuls variables ; car, chacune de ces équations étant celle d'un plan qui se meut parallèlement à lui-même, la droite d'intersection conserve la même direction. Les deux paramètres a et p sont liés par une équation de condition cp (a, p) = o; l'élimination des deux paramètres a et p donne l'équation de la surface cylindrique (2) <p (ax -\-by -\-cz-\-d, a'x -f- b'y -j- c'z -f- d') = 0.

Réciproquement, toute équation de la forme (2) ne peut représenter qu'une surface cylindrique. Si l'on pose, en effet,

ax-\-by-\-cz-{-d = u. , a'x -j- b'y + c'z -)- d! = p, l'équation proposée devient <p(<x, P) = o; à tout système de valeurs réelles de a et p , vérifiant cette équation, correspond une droite ayant une direction déterminée ; l'ensemble de ces droites forme une surface cylindrique. Ainsi, V équation générale des surfaces cylindriques est une équation quelconque entre deux polynômes du premier degré en x, y, z. Il peut arriver que l'équation <p (a, p)=o n'admette qu'un

nombre fini de solutions réelles ; dans ce cas, l'équation (2) représente un nombre limité de droites réelles.

463. Supposons que la surface ait pour directrice une courbe plane, située dans le plan XOY (fig. 282), et soit <p (x, y) = o l'équation de cettecourbe rapportée aux axes OX et OY \.

la trace G de la génératrice G1I

x = az + « , y = bz + $

Fig. 2S2. sur le plan XOY a pour coordonnées

x — <x , y = p; cette trace devant appartenir à la directrice, on aura l'équation de condition 9 (a, p) — o, et la surface cylindrique sera représentée par l'équation ç (a; — a%, y — 6») = o. Si la directrice plane est algébrique et de l'ordre m, la surface cylindrique est aussi algébrique et de l'ordre m.