SURFACES CONIQUES

4G4. On appelle surface conique une surface engendrée par une droite qui tourne autour d'un point fixe.

Désignons par#0,y0, z0 les coordonnées du point fixe, c'està-dire du sommet du cône ; les équations de la génératrice seront de la forme

z zQ z z0

a et b étant deux paramètres variables. On définira le mouvement de la génératrice en l'assujettissant à glisser sur unedirectrice donnée, ce qui fournira une équation de condition <p [a, b)—o entre les deux paramètres variables a et b. En éliminant a et b entre cette équation et les deux équations de la génératrice, on obtiendra l'équation de la surface conique

T\z — zQ z — zj C'est une équation homogène entre les trois différences x — œ0>

Réciproquement, toute équation homogène entre les trois différences x — x0, y — y0, z — z0 ne peut représenter qu'une surface conique. Car on pourra mettre cette équation sous la forme (3) ; si l'on pose ensuite

Z — ZQ Z — Zq

l'équation proposée devient <p (a, b) = 0 ; à tout système de valeurs réelles de a et b, satisfaisant à cette équation, correspond une droite passant par le point fixe (x0, yQ, zQ); l'ensemble de ces droites forme une surface conique.

Si l'équation <p (a, i) = o n'avait qu'un nombre limité de solutions réelles, on aurait un nombre limité de droites réelles. Si Féquation n'avait aucune solution réelle, l'équation (3),

supposée algébrique et entière, n'aurait qu'une solution réelle, x — xQ , y = yQ , z = zQ .

Quand on place l'origine des coordonnées au sommet du cône, l'équation de la surface conique se réduit à la forme

C'est une équation homogène entre x, y, z.

La surface conique est développable ; l'arête de rehaussement se réduit à un point, le sommet. La surface cylindrique est aussi développable; on peut la regarder comme la limite d'une surface conique dont le sommet s'éloigne à l'infini.

465. Considérons le cas où la directrice est une courbe plane. Prenons le sommet du cône pour origine des coordonnées, et supposons le plan XOY parallèle au plan de la courbe (fig. 283). Soient z = c, <p(œ, y) = o les équations de la directrice, x=az, y=zbz celles de la génératrice ; la trace de la génératrice sur e plan de la directrice ayant pour coordonnées z = c, œ = ac, 2/ = 6c, peur que ce point G appartienne à la directrice, il faut que l'équation de condition <p(ac,ôc)=o Fig. 283. soit vérifiée. En éliminant a et b entre

cette équation et celles de la génératrice, on obtient l'équation de la

surface conique

Si la directrice plane est algébrique et de l'ordre m, la surface conique est aussi algébrique et de l'ordre m.

SURFACES CONOIDES.

4GG. On appelle surface conoïde une surface engendrée par une droite qui se meut en restant constamment parallèle à un même plan que l'on nomme plan directeur, et en glissant sur* une droite fixe appelée axe du conoïde et sur une seconde directrice quelconque.

Prenons la directrice rectiligne pour axe des z, et supposons le plan XOY parallèle au plan directeur. La génératrice sera représentée par des équations de la forme

La seconde directrice donnera une équation de condition <p (a, p) = o entre les deux paramètres variables a et p. La surface conoïde aura pour équation

A l'exception des cylindres, les surfaces réglées à plan directeur ne sont pas développables. Nous avons dit, en effet, qu'une surface développable est engendrée par une droite mobile tangente à une courbe donnée ; la projection de la génératrice sur un plan quelconque restera évidemment tangente à la projection de l'arête derebroussement; or, quand la génératrice est parallèle à un plan donné, sa projection sur un plan perpendiculaire au plan directeur reste parallèle à elle-même et par conséquent n'est pas tangente à une courbe.

467. Supposons que l'axe OZ du conoïde soit perpendiculaire au

plan directeur (fîg. 284), et que la directrice soit un cercle situé dans un plan perpendiculaire au plan directeur. Faisons passer l'axe OX par le centre G du cercle et prenons le plan YOZ parallèle au plan du cercle ; ce cercle aura des équations de la forme a> = a, 2/2 + *2 = r2 Fîg- 284- Pour que la généra-

trice G H s'appuie sur le cercle, il faut que les paramètres a et p satisfassent à la relation a2p2 + a2 = r2. Le conoïde est donc représenté par l'équation du quatrième degré x2z2 + a2y2 — r2x2 — o. Si l'on coupe la surface par un plan parallèle au plan directeur, on obtient

évidemment deux génératrices GH, GH'; l'angle de ces deux génératrices diminue à mesure que le plan sécant s'élève; enfin le conoïde se termine par une arête DB. Coupons la surface par un plan EFE' parallèle au plan du cercle; ce plan a pour équation x — a'\ la courbe d'intersection a'2z2 + a2y2 — r2a'2 = o est une ellipse, dont le demi-axe IF est constamment égal à r et dont l'autre axe EE' diminue jusqu'à zéro, quand le plan sécant se rapproche de l'axe du conoïde.

Comme second exemple de surface conoïde, considérons la surface engendrée par une droite qui se meut en restant parallèle à la base d'un cylindre circulaire droit, en s'appuyant sur l'axe du cylindre et sur une hélice tracée sur le cylindre. Prenons pour axe des z l'axe du cylindre, pour axes des x et des y deux diamètres rectangulaires du cercle de base, et dont l'un, l'axe des %, rencontre l'hélice. Une génératrice de la surface se projette sur le plan de la base, suivant un rayon parallèle faisant avec l'axe des x un angle variable 6. Si l'on appelle h le pas de l'hélice, le point de Thélice a pour coordonnées

a? = rcos8 , y = rsmô , z = h — ;

ces trois équations à quatre variables 6, a?, y, z peuvent être regardées comme représentant l'hélice elle-même. La génératrice a pour équations

Z ~2~ ' # ang6; l'élimination de 6 donnera l'équation de la surface hélicoïde à plan directeur,

h . y z~ — arc tanff-*

Cette équation, jointe à celle du cylindre x2 + y2 — r2, représente aussi l'hélice.