DEUXIÈME CAS. A

507. Dans ce cas, nous commencerons par changer la direction des axes, en prenant pour nouveaux axes les directions

qui correspondent aux racines de l'équation du troisième degré, ou, si cette équation a des racines égales, un des systèmes en nombre infini de trois directions rectangulaires déterminés par ses racines. On démontre, comme on Ta fait algébriquement dans le cas précédent, que B1 = BJ=B4 = o ; les coefficients des carrés des variables ont encore pour valeurs S, S', S". Si donc une seule racine S est nulle, et que Ton prenne pour axe des x' la direction déterminée par cette racine, l'équation de la surface est

sy2 + sv2+2C1^,+ 2c;^+2C/x+F=o.

Les coefficients C4, C't, G'[ ont pour valeurs C^Ca+C'P+C'Y,

c; = Ca"+cy,+ CY.

En déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on ramèns l'équation précédente à la forme

S'y8 + SV + aCia? = o, si C^ est différent de zéro, et à la forme Sy + SV + Fi = o, si Ci est nul. Le coefficient Ci, qui subsiste dans l'équation réduite, est celui qui correspond à la racine simple S = o.

Si deux racines S et S' sont égales à zéro, par la première transformation l'équation devient

SY1 + 2C1a?'+2Cy+aCr/ + F = o.

Nous avons vu que, pour cette racine double S=o, les relations (24) du n° 499 se réduisent à une. Afin de déterminer l'une des directions correspondantes, on peut joindre à cette équation une seconde équation choisie à volonté ; nous prendrons

C; = Ca'+C'p' + CY=o.

L'autre direction sera ensuite complètement déterminée, ainsi que le coefficient Cj. Cela posé, en déplaçant les axes parallè* lement à eux-mêmes, on ramènera l'équation à la forme