PREMIER CAS. A ^ O

506. On commence par transporter les axes, parallèlement à eux-mêmes, au centre de la surface ; l'équation générale du second degré (i) Ax2 + Ay + A"z2 + sByz + iB'zx + <&"xy

+ 2Ca? + 2C,y + aC/r* + F = o devient (2) A^2 + Ay + AV4-2B^ + 2B^ + 2B'^?/+.H=o;

les coefficients des termes du second degré ne changent pas, et nous avons appris à calculer la constante H (n° 489).

Supposons d'abord les trois racines de l'équation du troisième degré en S différentes et désignons-les par S, S', S* ; soient, de plus, (a, p,v), (a, p',y'), (</, p",y") les cosinus des angles que font avec les axes les directions qui correspondent à ces trois racines. Si l'on change les axes des coordonnées en prenant ces trois directions pour celles des nouveaux axes, les formules de transformation sont

600 LIVRE Vï, CHAPITRE II.

et l'équation de la surface aura la forme

M;r'2 + Ny'2 + Ps'2 + H=o, puisqu'elle ne doit plus contenir les produits des variables. Mais on a

M = Aa2 + A'p2 + AV + 2BPT + sB'yoc + 2BV, c'est-à-dire* M = S (n° 497) . Par la même raison, on a N = S' et P = S". Ainsi, dans ce cas, l'équation réduite est (4) S^ + Sya + SV1 + H=o.

Il est facile de vérifier que les coefficients des rectangles des variables dans la nouvelle équation sont nuls. Par exemple, le coefficient du terme en ix'y* est

B; = A«a' + A/pp'+AV+B(PY' + YPf) + B'(Ta'+«/)

+ B"(ap'+pa').

Si l'on ajoute membre à membre les trois premières équations (02) du n° 5o3, après les avoir multipliées respectivement par a , p', y', on a

B;=S(«a'+pp' + TÏ0 = o.

Ceci est d'ailleurs une conséquence des relations (17) du n° 49t>.

Lorsque deux racines de l'équation du troisième degré sont égales, à la racine simple correspond un plan principal déterminé, et à la racine double une infinité de directions de cordes parallèles à ce plan; si l'on prend pour nouveaux axes deux droites rectangulaires situées dans le plan principal et la perpendiculaire au plan, la méthode précédente est applicable, et l'on obtient l'équation

S(*'« + y'») + SV» + H=o, qui représente une surface de révolution autour de l'axe des z. Enfin, si les trois racines sont égales, en prenant trois nouveaux axes rectangulaires quelconques, l'équation est toujours S [x'2 -j- y'2 4"2'2) + H — 0 ; elle représente une sphère.