B'B" B"B BB

Lorsqu'un seul des coefficients B, B', B" est égal à zéro l'équation en S n'a jamais de racine double. Si deux coefficients B', B" sont nuls, la condition pour l'existence d'une racine double est (n° 5o2)

(A' — A)(A"-A)-B2=o; et Ton a

509. On peut résoudre la même question, en coordonnées rectangulaires ou obliques, par une méthode analogue à celle employée au livre III, chapitre III. Le polynôme homogène et du second degré

(5) Ax2 + A!y* + AV + zByz + *B'zx + iB"xy

par rapport aux trois variables x} y, z est égal au produit de deux polynômes du premier degré par rapport à ces mêmes variables lorsque le discriminant

A = AA'A" — AB2 — A'B'2 — A" B"2 + aBB'B" est nul.

Concevons que, sans changer l'origine, on substitue au premier système d'axes, qui font deux à deux des angle» représentés respectivement par 1, fx, v, un second système d'axes rectangulaires tei que le polynôme (5) se réduise à

(6) M#'2+%'2 + Pa'2.

En effectuant la même transformation pour la lonction

°°2 -f* y2 + g2 4" 2uz cos ^ ~t~ 2ZX cos t* + 2Xy cos v>

elle se changera en

car, ces deux expressions représentent le carré de la distance de l'origine à un même point pris arbitrairement dans l'espace. Il en résulte que, le polynôme homogène

+ 2 (B — S cosl)yz + 2 (B' — S cos [/.)*# + 2 (B/; — S cos v)xy ,

dans lequel S désigne une constante arbitraire, devient

Les valeurs de S, pour lesquelles l'un des polynômes {7) ou

(8) est égal au produit de deux fonctions homogènes et du premier degré des variables dont il dépend étant évidemment les mêmes, les deux équations

-(A-S)(B-ScosX)2~(A,~S)(B,--Scos[x)2-(A,-S)(B,/-Scosv)t + a(B — ScosX)(B' — Scos(/.)(Bv — Scosv) = o,

admettent les mêmes racines. On en conclut que les coefficients M, N, P, du polynôme (6) sont respectivement égaux aux racines Si, S*, S3 de l'équation du troisième degré (9).

Quand on attribue à S Tune des valeurs S1? S2, S3, par exemple S = Siz=z M, l'équation obtenue en égalant à zéro le polynôme (7), dans lequel on a remplacé S par Si, représente, dans le premier système d'axes, deux plans qui se coupent suivant la droite OX' intersection des deux plans définis dans le second système par l'équation (S2 — St) y'2 -f- (S3 — S.) z'2 = 0. On forme les équations de cette droite, dans le premier système d'axes, en égalant à zéro deux des dérivées partielles du premier ordre du polynôme (7). Quand les deux équations ainsi obtenues représentent le même plan, la direction OX' est une direction arbitraire comprise dans ce plan .