Quand le théorème a lieu pour deux contours ABCDA

DCED, qui ont une portion commune DC, il doitavoir lieu également pour le contour total ABCEDA formé par leur réunion.

Il est clair en effet qu’en parcourant ABCDA, les changements de signes de R qui pourront avoir lieu de C en D auront lieu aussi, mais en ordre inverse, lorsqu’en parcourant DCED on ira de D en C. Donc en désignant par A' et A* les valeurs de a relatives aux deux

contours partiels, et en conservant a pour le contour total, on devra avoir A=A'-j-A".

Nommons p' le nombre des racines enveloppées par le premier contour, p" le nombre des racines enveloppées par le deuxième, et p le nombre des racines enveloppées par le contour entier, on

a évidemment |*= (jl'-}- n". Or, puisque le théorème est supposé vrai pour les deux contours séparément, on doit avoir |x'=^A', (i"= ? A"; donc p.'-|- t*'— 1 A'+ l-A", et par suite p.— J A. Donc le théorème est vrai pour le contour total.

Si on avait un nombre quelconque de contours juxtaposés, pour chacun desquels le théorème eut lieu, il devrait avoir lieu aussi pour le contour total formé par la réunion de ceux-là. En effet, après avoir réuni en un seul deux contours juxtaposés, on peut réunir le nouveau contour avec un troisième qui lui soit juxtaposé ; puis encore le nouveau contour avec un quatrième, et ainsi de suite : d’après ce qui vient d’être dit plus haut, le théorème continuera toujours d’avoir lieu.

508. Enfin supposons qu’un contour quelconque soit donné : on pourra toujours le diviser en contours partiels dont les uns seront tracés autour de chaque racine et assujettis aux conditions du n» 504, tandis que les autres ne renfermeront aucune racine et seront assujettis aux conditions du n' 503. Or, d’après le numéro précédent, le théorème étant vrai pour chaque contour partiel, devra l’être aussi pour le contour proposé. Ainsi se trouve démontré le théorème de M. Cauchy.

509. De ce théorème découle comme conséquence que l’équation f (z) = 0 a m racines de la forme a + b f — t , et n’en a pas davantage. En effet, autour de l’origine 0, traçons un cercle d’un très-grand rayon, et cherchons combien il y a de racines comprises dans l’intérieur de ce cercle. Soit p un rayon quelconque de la circonférence, et w l’angle de ce rayon avec la ligne des x, on aura :r=pcos<oet y==psinu>; donc

/■(*+W— 0 = Apm [ cosrmo-fV — t sinrniD J + Bp®*-1 jcos (m — 1 )w -j- sj — 1 sin [m — i )u>] -f- etc. ; et comme chacun des coefficients A, B,... peut être mis sous la forme H (cosa-f- v^— ■ Isina), ce développement s’écrira ainsi :

— 1 =Hpm{cos(mü) + a)-f- \j — 1 sin (mtu-j-a) J

-)-H1p,,*~1 { cos[(m — t )to -j- a,] \J — 4sin[(m— !)«<>+«,]} +etc.

De là résultent, pour P et Q, les valeurs

P = Hp* cos [mto-f-a] -f- H1p’*1cos[(m — l)a> -f- a,] + etc.

Q = Hpm sin [mw-fa] -j- Hjp^’sin [(m — l)o>-j- a,] -j- etc.

Employons l’angle auxiliare X comme au n® 803. et désignons H, -j- H , -j- etc. par S, nous écrirons P et Q sous cette forme

— «„»•-« I HPcosX x cos(w<0 + a

P = Sp

Q=Sp-ja^x-

cosX sin (mw + a) sinX

Nous supposerons que le rayon p ait été pris plus grand que la plus

grande des trois quantités 1 , — -, ■ . -. Alors le signe de P

HcosX HsinX

sera semblable à celui de son premier terme toutes les fois qu’on aura cos (mto + a) > cos X : et de même le signe de Q sera celui de son premier terme toutes les fois qu’on aura sin (mu» -j- a) > sinX. C’est pourquoi je considère la suite des arcs

X, H — X, H + X, 2H — X,. 2H + X...... 2mH — X, 2mH + X;

et en raisonnant comme au n® 306, on reconnaîtra que le nombre A = 2m ; donc p. = m ; donc l’équation proposée a m racines et n’en a point davantage.

810. Je n’expliquerai pas ici comment on peut connaître l’excès A pour un contour donné : sur ce point je renverrai au Journal de mathématiques de M. Liolville, août 1836.