etc

Dans ce développement mettons ensemble les termes réels , et aussi ensemble ceux qui contiennent \J — 1. On aura ainsi les quantités désignées par P et Q, savoir :

P = M,p cos (<o + a,) 4- M,p* cos (2co 4- “,) 4" etc-,

Q = M,p sin («■> -j- «,) + M,p* sin (2w -j- a,) -j- etc.

Lorsque 1 ou a 4 ^ \[—\ est une racine simple, le polynôme dérivé f\k) doit être différent de zéro ; donc l’une au moins des

quantités désignées plus haut par c et d doit être différente de zéro, et par suite M, aussi est différent de zéro. Ce cas est celui qu’il convient d’examiner en premier lieu.

505. Pour déterminer le degré de petitesse du rayon p, posons

S M, -j- M, -}- etc.,

S' = M, cos(2u> <xs) + M,p cos(3u> -}- «,) + etc.,

S" = M, sin (2«o -j- at) -f- M,p sin (3<o + aj -f- etc.

Désignons aussi par X un arc quelconque, pris arbitrairement dans le premier quadrant : on pourra écrire

rt o.i(M,smX sin(« + «t) , S").

QB=SP sinX +ST

et alors je supposerai que le contour convexe tracé autour du point M soit tel qu’en chacun de ses points le rayon vecteur p soit

moindre que la plus petite des trois quantités 1 , — 1 \

Cela posé , les termes qui composent 5 sont tous positifs et plus grands que ceux qui leur correspondent dans S' et S"; donc les S’ 8"

fractions — et — seront, en grandeur absolue, <1. D’un autre

... i ... » M.cosX M.sinX x ...

cote, les quantités — et — seront positives et > 1 ; donc

bp bp

P aura le signe de son premier terme pour toutes les valeurs de o> qui rendront, en grandeur absolue , cos (u> -f- a,) > cos X , ce qui arrivera quand l’angle w -f- a, sera compris entre H — X et H -f X, ou entre 2H — X et 2H + X (H représente la demi-circonférence) ; et pareillement, Q aura aussi le signe de son premier terme pour toutes les valeurs de w qui rendront, en grandeur absolue, sin (o> a,) > sinX, ce qui arrivera quand l’angle o» -f- a, sera

compris entre X et H — X ou entre II -}- X et 2H — X.

En conséquence écrivons le tableau ci-dessous ,

Arcs (tu -f- oq)

Signes de P

Signes de Q

Signes de R

On reconnaîtra sur-le-champ que, Hans le premier intervalle, celui de X à H — X, le signe de P devra changer de manière qu’après avoir commencé par être 4- , il finira par être — , tandis que le signe de Q restera constamment +. Donc dans cet intervalle le rapport R devra en s’évanouissant passer une fois de plus du positif au négatif que du négatif au positif.

Dans l’intervalle de H — X à H-f X, P est constamment négatif et le signe de Q peut changer une fois ou plusieurs ; mais dans le théorème on ne doit considérer que les changements de signe de R qui ont heu lorsque P passe par zéro.

Dans l’intervalle de H -j- X à 2H — X , le signe de P change de telle sorte qu’après avoir commencé par être — il finit par être mais dans ce même intervalle Q reste constamment négatif; donc le signe du rapport R ne peut changer que par l’évanouissement de P; et comme il commence. par être + et finit par être — , il s’ensuit que le nombre des passages de -+- à — surpasse d’une unité le nombre des passages de — à -f-.

Quant au dernier intervalle, celui de 211 — X à 2H+X, on remarquera que si R peut y changer de signe, ce ne sera point en passant par zéro , puisque P y reste constamment positif.

Ainsi, après que le rayon p a parcouru une circonférence entière, on a simplement A = 2. Comme l’intérieur du contour ne renferme qu’une seule racine , on a pi = 1 , et il est évident que l’égalité g. = -J- A est satisfaite.

506. 11 faut examiner, en second lieu , le cas où la racine k ou a+b)/— l est multiple d’un ordre quelconque n. Alors les n polynômes dérivés f(k), f(K)(k) sont zéro; par suite les modules

Mt, M,, ... Mn j sont zéro aussi, et les valeurs de P et Q sont

P = M„p* cos (nu + aB) + Mn+1 p**-1 cos [(n + 1 )» + aB+1] + etc. ,

Q = M„p" sin (tuü 4“„)4 MB+1 p**1 sin j(n + ijw + aB+lj + etc.

Divisons par p1”1 tous les termes à partir du second , désignons par S la somme MB4, -f- M„+1 -f- ... , et, en nous servant encore du même angle auxiliaire X , écrivons P et Q sous cette forme 'M„cosX cos (n«o -(- a„) . S'

Sp ^ cos X

[M„sinX sin (nw “J , S")

P = 8pH+l j- Q = Sp””’ f-

t Sp sinX

En raisonnant encore ici comme dans le cas oii la racine n’était

point multiple, nous choisirons le contour convexe, qui enveloppe la racine, de manière qu’en chacun de ses points le rayon p soit

. . ... , . . ..... M.cosX M.sinX

moindre que la plus petite des trois quantités 1 , — - — , — — 5

alors nous reconnaîtrons que P prendra des valeurs de même signe que son premier terme quand on aura cos (nto -f- *») > cosX, et que Q prendra aussi des valeurs de même signe que son premier terme quand on aura sin (nu> + a„) > sinX.

Il y a donc encore lieu à considérer les valeurs de l’arc nu -(- an comprises dans les intervalles de la suite X, H — X, H -f X, 2H — X, 2H + X; mais ici il faudra pousser cette suite jusqu’à 2nH — X et 2«H -j- X, afin que le rayon parcoure une circonférence entière.

D’après le raisonnement du n” précédent, les intervalles de rang pair, comme celui de H — Xà H + X, donneront des changements de signe du rapport R qui seront produits par l’évanouissement de Q et non par celui de P; de sorte que ces changements de signe ne doivent être ici d’aucune considération. Au contraire, dans les intervalles de rang impair, le signe de R ne changera qu’avec l’évanouissement de P : or, le nombre de ces intervalles est égal à 2n, et dans chacun d’eux, le nombre des passages de -j- à — l’emporte d’une unité sur celui des passages de — à +; donc a = 2«. D’ailleurs l’équation donnée admettant n racines égales à k, on doit avoir p. = n ; donc l’égalité p = { A est encore vérifiée.