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cipaux : car chacune passe par les centres d'une suite de sections auxquelles elle est perpendiculaire. Je dis de plus que ces diamètres principaux sont, en général, les seuls qu’il y ait dans la surface.

Supposons qu’on ait pris un tel diamètre pour ligne des z, et qu’on dirige, dans le plan diamétral perpendiculaire, les x et y suivant des axes rectangulaires qui fassent évanouir xy. 11 faudra qu’en faisant s = y dans l’équation de la surface, il en résulte une courbe qui ait l’origine pour centre : or cela exige qu’il n’y ait, après cette substitution, aucun terme du 1er degré; par conséquent l’équation de la surface ne doit renfermer aucun des termes en x , y, xz, yz. Elle ne doit pas non plus contenir le terme en z, puisque l’origine est au centre, ni le produit xy, puisqu’on l’a fait disparaître; donc elle a encore la forme précédente [I].

Il résulte de là que le plan de xy est un plan principal, c’est-àdire qu’à chaque diamètre principal il correspond un plan principal; et, en général, comme il n’y a que trois plans principaux, il n’y a aussi que trois axes ou diamètres principaux.

Cependant cette conclusion souffre exception, ainsi que celle du numéro précédent, à cause des cas d’indétermination que peuvent offrir les éq. [1] ou [2], Ces cas n’ont lieu que pour les surfaces de révolution, comme on le verra plus loin (643-647).

Remarquez en passant que les trois plans principaux sont conjugués et rectangulaires entre eux, et que leurs intersections déterminent les diamètres principaux, qui eux-mêmes sont conjugués et rectangulaires. C’est ce que prouve l’éq. [I].

640. Considérant toujours les surfaces qui ont un centre, montrons comment on obtient les longueurs des axes, c’est-à-dire les portions des axes qui sont comprises dans la surface. Supposons que les coordonnées soient rectangulaires et que l’origine soit placée au centre ; nous prendrons

[G] Ax* + A 'y* + A"z! -f 2Bxy + 2B'xz -f 2B"yz + G = 0

pour l’équation de la surface, et

[4] x = 8z, y = Vz,

pour celles d’un axe. Il est clair que 8 et S' doivent être déterminés par l’analyse du n° 637. En désignant par A le demi-axe, et par x, y, z, les coordonnées du point où il rencontre la surface, on a A* = x’ + y* -f z* = (8* + 8,! -f 4 ) z*.

D’un autre côté , en éliminant x et y de l’éq. [G] , au moyen des éq. [4], il vient ( A8* + A'8’> + A" + 2B88' + 2B'S + 2B"S>* + G = O ; donc

A6* + A'ff* + A" + 2B8o' + 2B'8 + 2B”8'#

Or, si on ajoute les éq. [2] du n° 637, après avoir multiplié la 4'“ par 3 et la 2* par 3’, il vient A3* + A’8'*+ A"+2B88'-f 2B'3+2B"8' — (*+*»+ 4)Xj donc

6-41. Si G est nul, X ne l’étant pas, on a A = 0 : c’est ce qui doit avoir lieu quand l’éq. [G] représente un point, un cône, une droite, deux plans qui se coupent, ou un plan unique.

Si, en calculant X, on trouve X=0, et que G ne soit pas nul, il en résulte A = oo ; ce cas a lieu pour les cylindres elliptiques ou hyperboliques, et aussi pour deux plans parallèles.

Si à la fois on a G = 0 et X=0, A est indéterminé. Cela doit arriver quand on a deux plans qui se coupent, un plan unique, ou une droite.

642. Laissons de côté ces cas particuliers, et supposons qu’on ait divisé l’éq. [G] par le terme constant après l’avoir passé dans le second membre; de sorte qu’on ait pour la surface,

[A] A** + A'y* + A V + 2B xy + 2B ’xz + 2B "yz = 4 .

L’éq. [3] qui donne X, ne changera pas, puisqu’elle ne contient pas G , et on aura simplement

relation bien remarquable, qui montre qu’en divisant l’unité par les racines de l’éq. [3], on a les carrés des demi-axes de la surface.

643. Supposons la surface ramenée à ses axes. Puisqu’ils forment un système de diamètres conjugués, on peut donner encore à l’équation la forme

** T JlT „î

x a. Il a1 + A*

pour l’ellipsoïde (619);

pour l’hyperboloïde à 4 nappe (620);

pour l’hyperboloïde à 2 nappes (621 ).

En cherchant les distances du centre aux points où chacune de ces trois surfaces va rencontrer ses axes, on trouve a, b, c, pour la 1”; a, b, c ^ — î, pour la 2*; a\J — 1, b\J — 1 , c, pour la 3' : donc, selon le genre de la surface, l’éq. [3] doit avoir pour ra-

cmcs F- F’ -?> ~ï” ?• Par conse-

quent, en déterminant, par la règle de Descartes, le nombre des racines positives ou négatives de l’éq. [3] , on saura quelle surface représente l’éq. [G]. Remarquez qu’en vertu de la relation [6], les racines de l’éq. [3] peuvent bien être négatives, mais non pas imaginaires.

644. Parlons maintenant des surfaces dénuées de centres D’après ce qui précède (638), on peut toujours trouver trois plans perpendiculaires entre eux qui changent l’éq. [G] en une autre sans rectangles. Cette transformation s’effectuerait en remplaçant x, y, z, par des valeurs telles que ix -f- a-'y -f- a"z- Or, en opérant les mêmes substitutions dans l’équation générale [A] , il est évident que les rectangles disparaissent encore, car ils auront les mêmes multiplicateurs ; donc on arrivera à une équation de la forme Px1 + Py + P"z’ — 2Qx — 2Q'y — 2Q”z + F = 0.

Dans le cas où la surface n’a point de centre, il faut qu’un des carrés disparaisse (611); et alors , en déplaçant l’origine comme dans le n° 61 1 , l’équation ci-dessus se change en celle-ci : py+PV=2Qx,

qui est, en coordonnées orthogonales, semblable à l’éq. [F] du numéro cité, et qui représente comme elle toutes les surfaces dénuées de centre.

On voit, par cette équation même, que les plans actuels de xy et xz sont des plans principaux, et que la ligne des x est un axe de la surface. Cet axe est le seul qui existe dans la surface. En effet, les diamètres des paraboloïdes étant parallèles entre eux (636), s’il y avait un antre axe, il devrait être parallèle à la ligne des x, et contenir les centres des sections perpendiculaires : or il est évident que ces sections ont leurs centres sur l’axe actuel des x.

De même, les plans de xy et de xz sont, en général, les seuls plans principaux de la surface. Remarquons d’abard que les plans diamétraux étant parallèles à la ligne des x (633) , les cordes perpendiculaires à un plan principal doivent être parallèles au plan

actuel de yz. Supposons ensuite qu’on fasse, dans la surface, des sections parallèles à ce plan, et qu’on mène, dans ces sections, des cordes parallèles : comme ces sections (du moins lorsque P1 est différent de P') sont des ellipses ou des hyperboles qui ont leurs centres sur la ligne des x , et leurs axes parallèles aux y et aux z , il est clair qu’un plan ne peut pas couper les cordes parallèles perpendiculairement en leurs milieux , à moins qu’elles ne soient parallèles aux y ou aux z. Or, dans le premier cas , le plan principal coïnciderait avec celui des xz, et, dans le second, avec celui de xy.

Si on avait P"= P’, les sections parallèles au plan de yz seraient des cercles ; alors tout plan mené par l’axe des x pourrait être pris pour plan principal.

Cas dans lesquels U y a une inûnité de planB principaux. — Conditions pour que la surface soit de révolution.

645. On a dit (639) qu’une surface du second ordre a quelquefois plus de trois plans principaux , à cause de l’indétermination qui peut avoir lieu dans les éq. [2] du n° 637. Ce cas ne peut pas arriver, à moins qu’une valeur de X, tirée de l’éq. [3], ne rende indéterminée au moins une des quantités 6 et 6' . Supposons que ce soit 3 : on aura à la fois les deux équations