Quand la surface n’a point de centre, on peut supposer

H =0, P = 0; et les éq. [5] donnent z = pïr, y = — Or,

on peut déterminer a et a' de manière que y et z aient telles grandeurs qu’on veut; donc dans les paraboloïdes , les diamètres sont

parallèles « la ligne des x ; et , réciproquement , toute droite qui a cette direction est un diamètre.

Plans et diamètres principaux.

637. On a nommé (615) plan principal un plan diamétral perpendiculaire à ses cordes conjuguées, c’est-à-dire aux cordes parallèles qu’il coupe par moitié. Ainsi, pour avoir tous les plans principaux d’une surface du 2* ordre , il suffit d’établir les équations qui expriment cette condition. Jusqu’ici on n’a fait aucune hypothèse sur la direction des coordonnées dans l’éq. [A]; il est donc permis de les supposer rectangulaires. Alors, pour que le plan diamétral soit perpendiculaire aux cordes conjuguées, il faut (576), entre les coefficients des éq. [1] et [4] du n° 630, poser les relations

1 AS + B? +B' = ( A" + B'3 + BT) S ,

1 ' j A’S’ + BS-f B"=(A"+B'S + B"8')a'.

Elles feront connaître 3 et 3', et par suite les plans principaux.

Afin d’avoir des calculs symétriques, faisons A"-j- B'8-j-B''8'=A : au lieu de deux inconnues on en aura trois, 3, 3’, A, qui seront déterminées par les équations

[2] A8+ B8'+B'=A8, A'8'+B3+B"=A8', A,'+B'3 + B"S'=X. Les deux premières donnent

« (X— A')B' + BB" (A— A)B''-f BB'

valeurs qui seront réelles si X n’est point imaginaire. En les substituant dans la 3' équation, il vient

— B* (X — A") — 2BBB" = 0 ,

ou, en développant et désignant par K la même expression que dans le n" 627,

[3] xs— (A + A’ + A")A*

Telle est l’équation qu’il faut résoudre pour connaître les valeurs de X, et ensuite celles de 8 et 8'.^

638. Cette équation, étant de degré impair, a au moins une racine réelle. Mais pour que cette racine détermine véritablement un

AÛ6

plan principal, il ne faut pas que ce plan aille couper les axes coordonnés à des distances infinies. Ne considérons d’abord que les surfaces qui ont un centre. Alors cette difliculté ne peut point exister; car, dans ces surfaces, tous les points diamétraux passent au centre : ainsi, elles ont au moins un plan principal. Pour juger si elles en ont plusieurs, j’aurai recours aux considérations suivantes.

Prenons les x et les y dans le plan principal dont l’existence est démontrée, et les z sur le diamètre perpendiculaire. L’équation de la surface ne contiendra ni les termes du 1er degré, puisque l’origine est au centre, ni les rectangles xz et yz, puisqu’elle doit donner pour z des valeurs égales et de signes contraires. De plus, on peut diriger les x et les y de telle sorte que ces coordonnées soient perpendiculaires entre elles, et fassent disparaître aussi le rectangle xy ; donc l’équation de la surface sera de la forme [I] P^ + Fy’-f P"z*=H.

Elle est semblable à l’éq. [E] du n° 611; mais les coordonnées actuelles sont rectangulaires.

Par cette équation, on aperçoit sur-le-champ que les plans de xz et de yz sont aussi des plans principaux. Ainsi, la surface en a au moins trois: par conséquent l’éq. [3], qui doit les donner tous, a ses trois racines réelles. D’un autre côté, comme cette équation ne peut pas avoir plus de trois racines, on conclut qu’en général les surfaces douées de centre ont trois plans principaux , et n’en ont pas davantage (*).

639. La recherche des diamètres principaux a une connexion intime avec celle des plans principaux. D’abord il est clair que dans l’équation ci-dessus les lignes des ar, y, z, sont des diamètres prin-

(”) L’éq. [3], qui déterminent les plans principaux, doit être remarquée parce qu’elle se présente encore dans la théorie du mouvement de rotation d’un corps solide. Il serait difllcilc, sous la forme où elle vient d’être trouvée, de reconnaître que ses trois racines sont réelles ; mais je ferai observer ici que , dans des recherches de M. Jacobi, consignées au Journal de M. Crelle, t. XII, cette meme équation s’est offerte sous la forme suivante :