V] (A" — A ) BB" + B' (B* — B

646. D’après l’analyse précédente, dès que ces conditions sont remplies, les valeurs de 8 et 8', pour les cordes parallèles qui sont perpendiculaires à leurs plans diamétraux coujugués, ne sont plus assujetties qu’à la seule éq. [1]. Or on peut donner à cette écjuation la forme

et alors on conclut (582) que les cordes sont perpendiculaires à la droite, qui a pour équation

647. Les conditions qui rendent 8 et 8' indéterminées sont aussi

celles qui doivent avoir lieu quand la surface est de révolution ; et les éq. [4] qu’on vient de trouver sont celles de l’axe de révolution, ou du moins d’une parallèle à cet axe. C’est ce qu’on peut démontrer de plusieurs manières; mais la suivante me paraît la plus simple.

Prenons des coordonnées rectangulaires, et choisissons la ligne des x parallèle à la droite des équations [4]. Une corde quelconque perpendiculaire à cette droite aura pour équations x = p et ÿ = ô'2 + p' : cherchons le plan diamétral conjugué. Il suffit de faire 8 = 0 dans l’équation générale [4] du n° 630; et par là elle devient

(BS' + B> + (A'S' + B"),y + (A" + B"S> -f C'S' + C" = 0.

Quel que soit 8', elle doit représenter un plan principal , c’est-àdire un plan perpendiculaire à ses cordes conjuguées : donc on doit avoir (376) B8' -f B' = 0, A'8* + B” = (A" + B"8')S'; et comme 8' doit demeurer indéterminé, on conclut de là B = 0, B' = 0, B" = 0, A' = A"; et par suite l’équation de la surface doit être

Ax- + A'(ÿ* 4- s*) 4- 2Cx 4- 2C'y 4- 2C "z 4- F = 0.

Maintenant il est clair qu’en faisant des sections parallèles au plan de yz, on obtient des cercles qui ont leurs centres sur une même perpendiculaire à ce plan ; par conséquent la surface est de révolution autour d’une parallèle à l’axe des x, et c’est ce qu’il fallait démontrer.

Le cas où A' est zéro semble faire exception. Mais on le comprendra dans la conclusion générale, en remarquant qu’alors la surface est un cylindre parabolique , qui peut être considéré comme produit par la rotation d’une parabole autour d’un axe parallèle à son plan, et situé à une distance infinie de son sommet.