Prenons pour exemple le cône oblique à base circulaire

Afin de simplifier, je choisis le plan de cette base pour celui de xy; et son centre pour l’origine. De cette manière les équations de la base seront z =0, x! -j- r’. Pour que la génératrice rencontre

cette circonférence, on a la condition (a — ac)’-j- (6 — et,

par l'élimination de a et (3,. on trouve l’équation du cône

(az — ex)’ -j- (i r — cy)* = r’ (z — c)s .

723. Toute surface comprise dans l’équation [4] est un cône. En effet, si on pose x — a=a(z — c), y — b=$(z — c), on aura F(a, P) = 0 : de sorte que les coordonnées x, y, z, de la surface devront satisfaire aux éq. [tj, pourvu qu’on assujettisse a et p à la condition F (a, |3) = 0. Or, les éq. [t] représentent une droite qui passe constamment par un point fixe dont les coordonnées sont a, b, c; donc la surface dont il s’agit est un cône.

724. Problème. Trouver l’équation d’un cône dont on connaît le sommet et qui est circonscrit à une surface donnée.

Soit

l’équation de la surface donnée : ce sera déjà une des équations de la courbe de contact.

Nommons toujours X, Y, Z, les trois polynômes dérivés de f(x, y, s); x', ]j , z', les coordonnées courantes du plan tangent, et x, y, z, les coordonnées d’un point de la courbe de contact. En ce point, l’équation du plan tangent sera X(x' — x)-f-Y(ÿ’ — y) + Z(z’ — z) = 0. Mais ce plan devant aussi être tangent au cône

passe par le sommet donné ; donc, si a, b, c, sont les coordonnées de ce sommet, on aura

Cette équation appartient encore à la courbe de contact, et achève de la déterminer. On est ainsi ramené aux données du n° 721 .

725. Supposons que l'équation [5] soit du degré m, et que, A xf\fzT étant un terme quelconque de ce degré, on ait f(x, y, z ) ss Axrifzr + etc. : les polynômes dérivés X, Y, Z, seront X=pAx’’~1ÿ,3r-f-etc., Y=yAx"ÿ,l2r+etc., Z=rAxp;/l,2r l-|-etc.

L’éq. [6] peut s’écrire ainsi aX-j-iY -j-cZ=Xx-(- Yy-j-Zz. En remplaçant X, Y, Z, par leurs valeurs, le premier membre est évidemment de degré inférieur à m ; et, quant au second, on sait (660) qu’il se réduit toujours à un degré moindre que m. Après l’avoir réduit, je le désigne par V, et l’éq. [6] devient

«X+6Y-fcZ=V.

Alors elle montre que la ligne de contact est sur une surface d'ordre inférieur à m. Donc, si la surface donnée est du S" ordre, la ligne de contact sera plane. Ces conséquences sont déjà connues (663).

726. Comme application, cherchons le cône qui a son sommet à l’origine, et qui est circonscrit à la sphère dont l’équation est

, Alors on a a = 0, b — 0, c = 0, X = 2(x — f), Y = 2 [y — g), Z = 2(2 — A); et l’éq. [6] sera (x— f)x + (y— g)y + [z— A)z=0. En réduisant, au moyen de l’équation de la sphère, et posant P -f- g'- -f- h' = d', elle devient fx gy hz — d’- — r*.

Il est facile de voir par cette équation, que la ligne de contact est un petit cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite menée de l’origine au centre de la sphère.

Comme l’origine est placée au sommet du cône, les équations delà génératrice sont simplement x = az, y = $z; et, pour qu’elle rencontre le petit cercle, on trouve la condition (a*— (— 1) (d* — r’) — (fa + çP + h}' = 0. En remplaçant a et p

par leurs valeurs - et - , tirées des équations de la génératrice, on obtient l’équation du cône circonscrit à la sphère, savoir :

(** + !/' + -’) (rf! - r') - (fx + gy + hz)' = 0.

Surfaces de révolution.

727. Les surfaces de révolution sont celles qu’on peut engendrer en faisant tourner une ligne autour d’un axe fixe.

On nomme plans méridiens les plans qui passent par l’axe, et méridiens les intersections de ces plans avec la surface. Il est clair que tous les méridiens sont égaux ; il est également clair que les perpendiculaires abaissées sur l’axe, des différents points de la ligne génératrice, décrivent des cercles dont les plans sont perpendiculaires à l’axe, et qui ont leurs centres sur cet axe. Ces cercles se nomment parallèles.

728. Dans les surfaces de révolution, le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien qui passe au point de contact. En effet, le plan tangent doit contenir la tangente au parallèle qui passe au point de contact (638) : or le plan de ce parallèle est perpendiculaire au plan méridien qui passe par ce point, et la tangente est perpendiculaire au rayon qui est l’intersection des deux plans; donc cette tangente est perpendiculaire au plan méridien; donc le plan tangent l’est aussi.

729. Pkoblème. Une courbe quelconque étant donnée, trouver l’équation de la surface qu’elle décrit en tournant autour de l’axe des z.

Prenez les équations d’un cercle dont le plan soit perpendiculaire à l’axe des s, et qui ait son centre sur cet axe. Elles renfermeront deux indéterminées qu’on assujettira à l’équation nécessaire pour que le cercle rencontre la génératrice. Entre cette équation et celles du cercle, éliminez les deux indéterminées, l’équation résultante sera celle de la surface.

Pour plus de simplicité on supposera les axes rectangulaires, et on pourra représenter le cercle par les équations

[4] z = et, x' + y*== p,

dans lesquelles a et p sont deux indéterminées. Représentons la génératrice par les équations

Pour que le cercle rencontre la génératrice, les éq. [4] et [2] doivent être satisfaites par les mêmes valeurs de x, y. z : de là résulte entre a et p une relation que je représente par

C’est de cette équation qu’il faut éliminer a et p, au moyen des éq. [1]; et la surface demandée sera renfermée dans l’équation résultante

Si l’éq. F(«, p) = 0 peut se résoudre par rapport à a, et qu’on en tire a = <p(P), l’éq. [3] pourra s’écrire ainsi :

Jusqu’ici la ligne génératrice était tout h fait quelconque. Supposons maintenant que ce soit une ligne située dans le plan de xz, et que ses équations soient y = 0, f[z, x) = 0.

En prenant l’axe des z pour axe de révolution, les équations du cercle sont, ainsi qu’on l’a dit plus haut, z = a, x* -}- 1/ — p. Pour qu’il rencontre la génératrice, on a la condition f[a, yP)=0, f étant le même signe de fonction que pour la génératrice.

En éliminant a et p, il vient, pour la surface, l’équation

Ici f est encore le même signe de fonction; ainsi, il suffit de mettre \Jx* + y1, au lieu de x, dans l’éq. f\z, x) = 0 de la génératrice.

Ce résultat s’aperçoit sur-le-champ en remarquant, d’une part, que si les coordonnées d’un point quelconque de la surface sont x , y, z, ce point sera sur un parallèle dont le rayon est égal à S/F+7; et, de l’autre, qu’il doit exister, entre z et y x* -f- y % la même relation qu’entre les deux coordonnées de la génératrice située dans le plan do xz.

Quelle que soit la ligne génératrice, la solution du problème peut encore se présenter comme il suit, Pour la génératrice, prenons toujours les équations f(x, y, z)=^0, ft(x , y, z) = 0; et soient x, y, s, les coordonnées d’un point quelconque de la surface de révolution; et x', y', z, celles du point qui a la même coordonnée z sur la génératrice.

Le premier point est une des positions que vient occuper le second pendant la rotation de cette génératrice. Par conséquent il est à la même distance de l’axe, et l’on doit avoir a ■' + >/ —

Mais les équations de la génératrice donnent f\x!, y', z) = 0,

f\x', y', 3) = 0; donc, pour connaître la surface, il n’y a qu’à éliminer Ou, 1/, entre ces deux équations et la précédente.

Par exemple, supposons que la génératrice soit une droite ayant pour équations x = M; -j- N, y — M'3 + N' : il faudra éliminer af et y' entre les trois équations

x'+y' — x'^ + y", x' = M3 -(- N , y' = M'z-fN'; et, pour la surface, il vient

(Ms -f N)* -f (M's + N')* = x' -f y».

Cette équation se simplifie en choisissant pour ligne des x celle sur laquelle se mesure la plus courte distance entre la génératrice et l’axe de révolution, qui est déjà pris pour ligne des z. Alors la génératrice rencontre la ligne des x, et est parallèle au plan de yz. En conséquence, pour ces équations, je prendrai x = a, y — bz : c’est-à-dire que M = 0, N = a, M' == b, N' = 0 ; et que par suite l’équation de la surface se change en

x* -f- y* = iV + a'.

Le lecteur a sans doute reconnu ici l’hyperboloïde de révolution à une nappe. La double génération de cette surface est évidente : car l’équation ci-dessus reste la même, quoiqu’on y change b en — b.

730. Prohlrme. L’oxe et la génératrice d’vne surface de révolution étant donnes, trouver l’équation de cette surface, quelle que soit la position de l’axe.

Je représente la génératrice par les équations

M /I*.yi*) = 0. A(*»y»*)= 0.

Je désigne par a, b, c, les coordonnées d’un point pris à volonté sur l’axe de révolution, et je mets les équations de cet axe sous la forme

L’équation d’un plan perpendiculaire à cet axe, et celle d’une sphère dont le centre est sur ce même axe, au point qui a a , b, c, pour coordonnées, sont

M As + B y + s = «, (s-«)* + (y 6)’+(3-c)’=p.

On peut considérer ces équations comme celles d’un parallèle quel-

conque de la surface, pourvu qu on établisse entre a et |3 l’équation qui résulte de l’élimination de x, y, z entre [a] et [y]. Je représente encore cette équation par F(a, (3) = 0; et alors, en éliminant a et p entre cette équation et celles du parallèle, on trouve, pour l’équation générale des surfaces de révolution,

F[Ax -f Bÿ + 2, (x — af -}- (y — b'f + (3 — cf] = 0.

731 . Problème. Une surface donnée étant liée d’une manière invariable à un axe de révolution, et tournant ensuite autour de cet axe , on demande l'équation de la surface qui touche et enveloppe la surface mobile dans toutes ses positions.

Il est clair qu’il y a sur la surface donnée une ligne qui décrit la surface de révolution, et que le plan tangent à la surface donnée, en chaque point de cette ligne, doit être aussi tangent à la surface de révolution demandée. Donc ce plan doit être perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point que l’on considère (728). Par conséquent, en prenant simultanément l’équation qui exprime cette condition avec celle de la surface donnée, on aura deux équations en x, y, z, qui représenteront la ligne génératrice, et la question sera ramenée aux précédentes.

Surfaces développables en général.

732. On nomme surfaces développables celles qui sont engendrées par une droite qui se meut de manière que, dans chacune de scs positions, elle soit dans un même plan avec la position infiniment voisine. Le cylindre et le cône appartiennent à ce genre de surfaces.

733. Une propriété bien remarquable de ces surfaces, et qui est exprimée par leur dénomination même, c’est qu’une portion d’une telle surface étant prise à volonté, on peut toujours l’étendre dans un plan sans déchirure ni dupiicature. Et en effet, d’après la définition, cette portion de surface étant composée d’éléments plans, dont chacun est séparé de l’élément voisin par une génératrice, on peut concevoir que chacun de ces éléments tourne successivement autour de la génératrice qui le sépare de l’élément contigu ; et, de cette manière, on amènera un premier élément sur ie plan du suivant, l’ensemble de ces deux éléments sur le plan du troisième, et ainsi de suite.

734. Une autre propriété également remarquable des surfaces développables, et qui dérive immédiatement de leur définition, c’est que dans toutes ces surfaces, le contact du plan tangent doit avoir lieu suivant une génératrice entière. La raison en est, comme pour les cylindres et les cônes, qu’une génératrice donnée est toujours dans un même plan avec la génératrice infiniment voisine, et que ce plan, prolongé indéfiniment en tous sens, est tangent à la surface en chaque point de la génératrice donnée.

735. La définition des surfaces développables peut se ramener à un énoncé auquel le calcul algébrique s’appliquera plus facilement qu’à la définition elle-même ; et c’est cet énoncé que je vais faire connaître.

Considérons la surface qu’on obtient en prolongeant indéfiniment les côtés d’nn polygone ABCD... (fig. 53), dont trois côtés consécutifs quelconques ne sont pas dans le même plan. Cette surface, ou, si l’on veut, ce polyèdre se compose de faces PAQ, QBR,... qui ne sont autre chose que des portions angulaires de plans. Et même rien n'empêche de concevoir toutes les arêtes comme prolongées de l’autre côté du polygone. De cette manière; on forme une seconde nappe de la même surface polyédrale, et qui est séparée de la première parle polygone ABCD,... de même que les nappes d’un cône le sont par le sommet.

Cela posé, imaginons que le polygone soit inscrit dans une courbe donnée, et augmentons successivement le nombre de ses côtés. On déterminera ainsi une série de polyèdres sur lesquels chaque arête sera dans un même plan avec l’arête immédiatement voisine; et, par conséquent, la limite de ces polyèdres sera une surface courbe douée de la même propriété, c’est-à-dire qu’elle sera une surface développable.

Remarquons en outre, qu’en passant ainsi à la limite, le polygone se confond avec la courbe donnée, et que les arêtes du polyèdre deviennent tangentes à cette courbe. Donc, en général, une surface développable peut être décrite par une droite qui reste constamment tangente à une courbe. Monge appelle cette courbe arête de rebroussement.

Le cylindre et le cône échappent à cette génération, parce que, dans l’un, les génératrices sont parallèles entre elles, et que, dans l’autre, elles passent toutes par un même point.

736. Problème. Trouve)' l'équation d’une surface développable dont on connaît l’arête de rebroussement.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 513 Supposons que les équations des projections de cette arête soient

<P et étant des signes de fonctions. H est facile de reconnaître que les projections de la tangente à une courbe sont tangentes aux projections de cette courbe; donc, si on nomme «, p, y, les coordonnées d’un point quelconque de la courbe donnée, on aura, pour la tangente en ce point, les équations

[2] y— P = <p» (x— a), 2— Y = ^'(«)(ar — a) :

en dénotant par <p' et <|/ deux fonctions qui doivent se déduire des fonctions <? et On a d’ailleurs entre <*, P, y, les relations

(3] P = ?(*), Tf= '}'(«)•

Ici les indéterminées a, P,y, sont celles dont la variation fait mouvoir la génératrice; et ce sont elles qu’il faut éliminer entre les éq. [2] et [3] pour avoir l’équation de la surface développable.

Il n’y a pas plus de difficulté lorsqu’au lieu des projections de l’arête de rebroussement, on donne deux surfaces sur lesquelles cette courbe est contenue. Mais alors il sera mieux de déterminer la tangente par l’intersection des plans tangents aux deux surfaces.

737. Problèmb. Les équations d’une courbe étant données, reconnaître si cette courbe est plane ou à double courbure.

Déterminez comme dans le problème précédent le lieu des tangentes à cette courbe; et si elle est plane, ce lieu sera un plan. Par exemple, soient les équations

|4j y — ax* -j- bx -f- c, t— a'x’ -f- b'x -f- c'.

On aura <p' (a) =: 2«a -}- 6, \'(a) = ,îna.-\- b . Par suite les éq. (2j et [3] deviennent

y — p = (2éi« + b) ( x — a), z — y = (2a'a-(- b') (x — a),

P = aa8 -f- ba -f- c, Y = fl'a*-(- ÿa-j-c';

et c’est entre celles-ci qu’il faut éliminer a, P, y, pour avoir le lieu des tangentes à la courbe des éq. [4],

Par l’addition, on élimine sur-le-champ Pet y; et on trouve y — (2aa -j- b) x — aa1 -j- c, z = (2a'a -j- b') x — a' a*-f- c'. Puis on élimine a en retranchant ces dernières l’une de l’autre, après les avoir multipliées respectivement par cl et par a. 11 vient

a’ y — as =s ( ba' — ab') x -f cd — ad ;

et comme celle équation représente un plan, on doitconciupe que

In courbe donnée est plaqe.

Surfaces gauches.

738. On nomme surfaces gauches celles qui sont engendrées par une ligne droite, et qui ne sont pas développables.

Toutes les surfaces décrites par une droite, soit gauches, soit développables, sont comprises dans la dénomination générale de

surfaces réglées.

Dans toutes ces surfaces, le plan tangent en un point doit contenir la génératrice qui passe par ce point; mais, pour cela, il n’est pas tangent à la surface en chaque point de cette génératrice. Cette dernière propriété n’a lieu que pour les surfaces développables.

731). Parmi les surfaces gauches, on remarque principalement:

1° L’hyperboloïde à une nappe, engendrée par une droite qui se meut sur trois droites non parallèles à un même plan.

2° Le paraboloïde hyperbolique ou plan gauche, engendré par une droite qui se meut sur deux droites, en restant toujours parallèle à un plan.

3“ Le cylindre gauche, engendré par une droite assujettie à demeurer parallèle à un plan, et à s’appuyer sur deux courbes quelconques.

4° Le conoïde, engendré par une droite rjui reste parallèle à un plan, et qui glisse sur une droite et une courbe.

A l’égard des deux premières, nous remarquerons qu’elles sont les seules surfaces gauches comprises dans lçs surfaces du secopd ordre, et que leurs propriétés ont été exposées précédemment.

740. Si on veut appliquer le calcul à la définition des surfaces réglées, on prendra les équations

U] x = az + a, y — bz- J- p,

pour représenter la génératrice dans une position quelconque; puis on remarquera qu’il faut, pour que cette droite décrive une surface déterminée, que trois des quantités «, a, b, (3, soient des fonctions de la quatrième. Donc, quelle que soit la surface réglée, les équations de la génératrice peuvent s’écrire ainsi

X = Ztf(a) + a, ÿ = z+(«t) + x(«);

les lettres ®, <{/, y, indiquant des fonctions, et a étant une indéterminée dont la variation fait mouvoir la génératrice.

Au lieu de supposer a, b, {î, fonction de a, on peut assujettir ces quatre quantités Ü trois équations de condition; et alors, pour avoir la surface, il faut éliminer a, a, b, fi, entre ces équations et les éq. [f].

Et quant à ces équations de condition, elles résultent ordinairement du mode particulier de génération que l’on considère. Ainsi, elles exprimeront que la génératrice se meut sur trois lignes données, ou sur deux lignes, en restant parallèle à un plan; ou bien sur une ligne seulement, en demeurant constamment parallèle à un plan et tangente à une surface donnée ; ou encore de bien d’autres manières. La méthode à suivre, pour soumettre ces différents cas à l’analyse, est maintenant assez connue, et de nouveaux développements seraient inutiles.

Si on veut que la surface réglée soit développable, il faut choisir les relations des quantités a, b, a, (3, de telle sorte que chaque position de la génératrice soit dans qn même plan avec la position infiniment voisine. Mais, pour exprimer cette condition dans l’analyse, il faudrait emprunter au calcul différentiel des considérations qui lui sont propres, et qui ne sont pas de nature à trouver place dans cet ouvrage.

741. Les propriétés les plus importantes des surfaces gauches, et qu’on applique le plus souvent, sont plus faciles à établir par la géométrie que par l’analyse. A ce sujet, je pourrais renvoyer à mon traité de Géométrie descriptive; mais il sera plus commode pour le lecteur de les trouver ici.

Et d’abord, démontrons qu’on peut en général décrire une surface en faisant mouvoir une droite sur trois directrices données. A cet effet, prenez à volonté un point de la première directrice pour sommet d’un cône engendré par une droite qui s'appuierait sur la seconde directrice. Ce cône va couper la troisième directrice en un point; et la droite menée par ce point et pat1 le sommet du cône, étant tout entière sur le cône, doit rencontrer la seconde directrice : cette droite s’appuie donc sur les trois lignes à la fois. Oh peut répéter cette construction en prenant des cônes qui aient successivement pour sommets tous les points de la première directrice; et alors il est clair que la droite qui les rencontre toutes trois, changeant ainsi continuellement de position, détermine une

516 TK01SIÈME VAKTIE.

surface. Il est évident d’ailleurs que la même surface peut être produite en prenant pour directrices trois lignes quelconques tracées sur cette surface.

742. Quelles que soient les courbes qu’on prenne pour directrices d’une surface gauche, on peut les considérer comme des polygones d’une infinité de côtés, et par suite la surface ellemême comme composée d’une infinité de faces gauches, dont chacune est une portion d’hyperboloïde ou de paraboloïde, indé- , finie en longueur, mais d’une largeur infiniment petite. Cela signifie, en d’autres termes, que si on prend sur cette surface (fig. 54) deux génératrices G et G' aussi voisines qu’on voudra , lesquelles rencontrent les directrices aux points a, b, c, a!, b', c si on prolonge les éléments de courbe aa', bb', cc', ce qui donne les trois tangentes ar, bs, et; et si on fait glisser la génératrice G sur ces trois tangentes, on obtiendra ainsi une nouvelle surface qui aura avec la première une partie commune, comprise entre les génératrices G et G'. De là on conclut qu’en chaque point de la droite G, le plan tangent à l’une des deux surfaces l’est aussi à l’autre.

Pour mettre cette proposition dans un plus grand jour, ne supposons pas d’abord les génératrices G et G' infiniment rapprochées ; menons (fig. 55) les sécantes aa'r, bb's, cc't, et prenonsles pour directrices d’une surface gauche du second ordre (qui pourra être un hyperboloïde ou un parabaloïde). 11 est démontré (681, 689) qu’il existe sur cette surface un second système de génératrices, qui toutes rencontrent les premières : soit mp l’une d’elles, qui coupe G et G' en m et n. Imaginons que G' se rapproche de plus en plus de G : les lignes ar, bs, et, changeront de position, et avec elles la surface dont elles sont directrices. En même temps la droite mp change aussi, mais elle ne cesse pas d’être située sur cette surface, quelque petite que soit la distance de G' à G ; doncil en est encore de même au moment où ces génératrices coïncident. Mais alors ar, bs, et, deviennent tangentes aux directrices de la surface proposée, et mp devient tangente à cette même surface : ou, ce qui est la même chose, mp devient tangente à une certaine courbe tracée par le point m sur cette surface, et le long de laquelle on peut supposer que se meut le point n. Donc, quand les génératrices G et G' sont réunies, le plan amp devient tangent en m à la surface proposée ; et remarque^ en outre que ce plan ne

cesse pas d'être tangent à la nouvelle surface, puisqu’il contient toujours deux droites am et mp situées sur cette surface.

Comme ces raisonnements s’appliquent à tous les points de la génératrice G, on conclut, comme plus haut, que si par les points ou les trois courbes directrices d’une surface gauche sont rencontrées par une de scs génératrices, on mène des tangentes à ces courbes, et qu’on prenne ces tangentes pour directrices d’une surface gauche du second ordre, cette nouvelle surface sera tangente à la première dans toute l'étendue de la génératrice commune : c’est-à-dire que les deuxsurfaces ont même plan tangent en chaque point de cette génératrice.

De ce théorème découle cette conséquence importante, que deux surfaces gauches qui ont trois plans tangents communs le long d’une même génératrice , sont tangentes l’une à l’autre en tous les )joinls de cette génératrice. En effet, si on mène trois plans quelconques par les points de contact, ils couperont les plans tangents suivant des droites tangentes aux deux surfaces à la fois : or la surface gauche du second ordre, qui a pour directrices ces trois tangentes, doit avoir, en chaque point de la génératrice commune, le même plan tangent que les surfaces proposées; donc aussi ces dernières sont tangentes l’une à l’autre dans toute l’étendue de cette génératrice.

Pour former des voûtes on emploie quelquefois un ensemble de plusieurs surfaces gauches. Dans ces cas, on doit faire en sorte que deux surfaces se réunissent toujours par une génératrice le long de laquelle il y ait trois plans tangents communs : car alors elles se toucheront dans toute l’étendue de cette génératrice et pourront être considérées comme n’en formant qu’une seule. C’est ce qu’on appelle raccorder les surfaces.

743. Ce qui vient d’être dit se rapporte aux surfaces gauches en général : considérons en particulier les cylindres gauches, qui sont décrits par une droite qui reste parallèle à un plan et glisse sur deux courbes. Si on mène des tangentes à ces courbes en deux points d’une même génératrice, et qu’on fasse glisser sur elles une droite parallèle au plan donné, on engendre ainsi un paraboloïde hyperbolique; et, en reprenant les raisonnements précédents, on arrive facilement à conclure que ce paraboloïde est tangent au cylindre gauche en tous les points de la génératrice commune. Alors aussi il est facile de voir que si deux cylindres gauches ont le même plan directeur, il suffit qu’il y ait, sur une génératrice,

deux plans tangents communs, pour que les deux surfaces se raccordent parfaitement.

744. Considérons de nouveau une surface gauche quelconque, et supposons qu’on veuille construire géométriquement le plan tangent en un de ses points : il est clair qu’on pourra la remplacer par une surface du second ordre qui ait avec elle trois plans tangents communs, sur la génératrice passant au point de contact. Or, on sait qu’on peut mener par ce point une autre droite sur la seconde surface ; le plan tangent à cette surface, en ce point, contient ces deux droites : ce plan tangent sera donc déterminé ; et par conséquent aussi le plan tangent à la surface proposée, car il doit être le même.

745. Comme on peut mener à la surface donnée une infinité de tangentes par chacun de ses points, il est évident qu’après avoir pris trois points à volonté sur une de ses génératrices, on peut choisir d’une infinité de manières un système de trois tangentes passant respectivement par ces points ; et dès lors il est évident aussi qu’il existe une infinité de surfaces du second ordre qui sont tangentes à uhe surface gauche suivant une génératrice, et qui peuvent être employées dans la construction du numéro précédent. En général ces surfaces du second ordre sont des hyperboloïdes ; mais rien n’empêche de prendre pour directrices les tangentes menées à trois sections parallèles faites dans la surface donnée; et alors elles détermineront un paraboloïde.

On voit même qu’il y a une infinité de paraboloîdes tangents, tels que celui dont on vient de parler; car on peut varier d’une infinité de manières les trois sections parallèles. Mais toute indétermination cessera si on fait ces sections perpendiculairement à la génératrice suivant laquelle la surface proposée doit être touchée.

74ti. Coupons en effet, ainsi qu’il vient d’être dit, la surface par trois plans perpendiculaires à une génératrice G (fig. 56) ; et soient ar, bs, et, les trois tangentes qui déterminent alors un paraboloïde hyperbolique tangent à la surface proposée. On sait qu’il doit y avoir, sur ce paraboloïde, deux systèmes de droites : les ' unes, telles que G, qui rencontrent les tangentes ar, bu, et", et les autres, telles que ar, qui rencontrent chacune des premières. On sait de plus que les droites de chaque système sont parallèles à lin même plan. Or, par construction, les lignes ar, bs, et, sont per-

pendiculaires à la droite G ; donc, si on mène une série de plans perpendiculaires à cette droite, ils couperont la surface proposée suivant des courbes qui auront pour tangentes des droites du paraboloïde. De sorte qu’on peut considérer le paraboloïde comme le lieu des tangentes menées, par les différents points de la génératrice G, à toutes les sections faites, dans la surface proposée, perpendiculairement à cette génératrice.

Maintenant, imaginons que ce paraboloïde fasse un quart de révolution autour de la droite G, il est clair que chacune des tangentes devient normale à la surface proposée. De là ce théorème remarquable, dont la Géométrie descriptive fait usage dans ses recherches : La surface formée par les normales menées à une surface gauche quelconque, aux différents points d'une même génératrice , est toujours un paraboloïde hyperbolique.

pin.

Paris. — Imprimé par E. Thunot et C% nie Racine, Ï6.