DES SURFACES CONSIDÉRÉES D'APRÈS LEUR GÉNÉRATION

Règles générales.

7H. En considérant les surfaces dans leur génération, on est conduit à des questions qui exigent l’emploi de la plus haute analyse, et qui ont fait le sujet des plus beaux travaux de Monge. 11 ne saurait entrer dans le plan de cet ouvrage d’exposer ici ces savantes et difficiles recherches ; je me bornerai à présenter les équations de quelques surfaces très-simples, engendrées par des lignes qui se meuvent et qui peuvent changer de forme d’après des lois données. Or voici, en général, la marche qu’il faudra suivre.

1° On écrira d’abord les deux équations de la ligne génératrice, sans avoir égard aux conditions qui règlent son mouvement ou son changement de forme. Il devra toujours y avoir dans ces équations un ou plusieurs coefficients indéterminés, sans quoi elles

représenteraient une ligne fixe, qui ne serait susceptible d'aucune variation, et qui, par conséquent, ne saurait engendrer une surface. Je donnerai le nom de paramètre s à ces coefficients.

2° On exprimera par des équations les conditions auxquelles la génératrice doit rester soumise pendant son mouvement. Ces équations devront toujours être en nombre moindre que celui des paramètres : autrement aucun d’eux ne pourrait varier, et la génératrice ne pourrait point subir de déplacement. D’un autre côté, quand l’énoncé détermine complètement la surface, le nombre de ces paramètres ne devra surpasser que d’une unité le nombre des équations de condition ; et il est évident que ce sera la variation de l’un quelconque d’entre eux qui, en transportant la génératrice dans différentes positions successives, et quelquefois aussi en modifiant sa forme, lui fera décrire une surface, qui est celle dont on demande l’équation. S’il y avait un plus grand nombre de paramètres, on pourrait donner des valeurs particulières à quelquesuns, pour n’en conserver juste qu’un de plus qu'il n’y a d’équations de condition ; ce qui donnerait lieu à une surface. Mais, en changeant les valeurs attribuées à quelques-uns des paramètres, on pourrait obtenir d’autres surfaces : c’est-à-dire que la question proposée pourrait se résoudre par une infinité de surfaces différentes, ce qui est contraire à la supposition.

3° Entre les équations de condition et celles de la génératrice, on élimine tous les paramètres indéterminés et l’équation résultante est celle de la surface demandée. En effet, observez d’abord que le nombre total de ces équations surpasse d’une unité celui des paramètres, de sorte que l'élimination, en général, est possible; et ensuite faites bien attention que l’équation résultante, ne conservant aucune trace des paramètres, doit être satisfaite par les coordonnées x, y, z, d’un point quelconque appartenant à telle position qu’on voudra de la génératrice, ce qui revient à dire que cette équation est celle de la surface décrite par cette génératrice.

Remarque. C’est pour donner à la règle toute la généralité possible, que j’ai prescrit en premier lieu de poser les équations de la génératrice sans avoir égard aux conditions de son mouvement, et d’établir ensuite les équations qui résultent de ces conditions. Mais, dans un grand nombre de cas, ces conditions pourront être introduites, en tout ou en partie, dans les équations même de la génératrice; et alors il ne faudra plus y avoir égard

dans la suite du calcul. Par exemple, si une droite doit passer par uu point donné dont les coordonnées sonta, b,c, on prendra, pour cette droite, les équations x — a = a[z — c), y — 6 = p(z — c); et dès lors la condition dont il s’agit se trouvera remplie.

Dans quelques cas, au contraire, il sera plus commode d’employer des indéterminées auxiliaires; mais elles auront toujours avec les autres indéterminées certaines relations dont il faut avoir grand soin de tenir compte.

Surfaces cylindriques.

712. On nomme surface cylindrique, ou simplement cylindre, la surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à elle-même.

713. De cette définition il suit, comme conséquence immédiate, que le contact d’un plan avec un cylindre a lieu suivant une génératrice tout entière. En effet, le cylindre peut être assimilé à un prisme dont les faces sont infiniment étroites; et il est évident, d’après les considérations exposées n" 659, que le plan d’une de ces faces, prolongé indéfiniment, est tangent à la surface en tous les points d’une génératrice.

714. Problème. Etant donné une droite à laquelle la génératrice doit être parallèle , et une courbe directrice sur laquelle elle doit toujours s’appuyer, trouver l'équation du cylindre qu’elle décrit.

Représentons la génératrice par les équations

[1] x — az- fa, ÿ = Ô3-j-P;

et la courbe directrice par les équations

[2] f{x, y, z) — 0 , ft (x, y, z) — 0.

Les coefficients a et b sont constants; mais a et p sont deux indéterminées, qui doivent être assujetties à la relation nécessaire pour que la génératrice, dans toutes ses positions, rencontre la courbe. Pour que cette intersection ait lieu, il faut que les éq. [1] et (2) soient satisfaites par les mêmes valeurs de x, y, z: donc, si on élimine ces trois quantités entre les quatre équations, on aura la relation cherchée, .le désignerai cette relation par

Elle doit toujours exister quand la droite est une génératrice; par conséquent, pour obtenir l’équation du cylindre, il suffit

d’éliminer a et p entre cette équation et celles de la génératrice. Ces dernières donnent a = x — az, — y — bz : par suite, pour le cylindre, on aura

[4] F(x — az, y — 4z) = 0.

715. Prenons le cas où la directrice est un cercle situé dans le plan xy ; et soient z = 0, [x — ff-\-[y — (jY— r*> les équations de ce cercle. Pour qu’il soit toujours rencontré par la génératrice, on aura la condition (a — /')’+ (p — gY — r’"> et par suite on trouvera, pour le cylindre à base circulaire, l’équation

(x — az— f)' + (y — bz— gY = r!.

716. De quelque manière qu’un cylindre soit déterminé, on peut toujours le concevoir comme engendré par une droite qui se meut parallèlement à elle-même le long d’une courbe tracée sur ce cylindre ; et de là il suit que tous les cylindres peuvent être compris dans l’éq. [4]. Il est bien entendu que, pour des cylindres différents, les valeurs de a et b pourront être différentes, ainsi que la fonction F.

II est facile d’ailleurs de reconnaître que cette équation ne peut renfermer que des surfaces cylindriques. En effet, pour satisfaire k cette dernière, il faut qu’on ait en même temps x — az = a, y — bz = p, en assujettissant a et p à la relation F (a, p) = 0. Or, quelques valeurs qu’aient a et P, il est clair que les équations cidessus déterminent des droites parallèles. Ainsi la surface peut être regardée comme engendrée par une droite qui se meut parallèlement à elle-même : donc c’est une surface cylindrique.

717. Problème. La direction de ta génératrice étant connue, trouver l'équation du cylindre circonscrit à une surface donnée.

Ce problème serait le même que le précédent, si on connaissait la courbe du contact. L’équation de la surface donnée est déjà une des équations de cette courbe, et je la représenterai par

On obtiendra une autre équation de la même courbe en exprimant que le cylindre est circonscrit à la surface donnée, condition qui exige que le plan tangent à cette surface, en chaque point de la courbe du contact, soit aussi tangent au cylindre. Il suit de là que ce plan doit contenir la génératrice du cylindre menée par le point de contact : car cette droite, devant être considérée comme étant à elle-même sa propre tangente, est évidemment contenue

dans le plan tangent au cylindre. Supposons que la fonction /'soit un polynôme algébrique; nommons X, Y, Z, les trois polynômes dérivés; x, y, z, les coordonnées du point de contact, et x’, ÿ, z', les coordonnées courantes du plan tangent et de la génératrice qui passent en ce point : on a

\[x — x)-\ -Y(ÿ' — y) -j- Z(z' — z)=0 pour le plan, x' — x = a(s' — z ), y' — y= b(z' — z) pour la droite,

a et b étant deux quantités données. Or, pour que la droite soit dans le plan, ces valeurs de x' — x, xj — y, doivent vérifier l’équation du plan, quel que soit z ; et de là résulte l’équation «X-f- 5Y +Z=0, laquelle achève de déterminer la courbe de contact. La question est alors ramenée à celle du numéro précédent.

718. Considérons le cas particulier où la surface donnée est une sphère dont l’équation est x4 -J- xj- -j- z! =. r4.

Alors on a X = 2 x, Y =2 y, Z = 2z; et la dernière équation trouvée ci-dessus devient ax -}- by -}- z — 0. Celle-ci représente un plan qui passe par l’origine, et même il est facile de voir qu’il est perpendiculaire aux génératrices (576).

Maintenant, pour la courbe de contact, qui doit diriger la génératrice, on a les deux équations x*-\-ÿi-\-zt=^r',ax-\-by-\-x=0. Il n’y donc qu'à répéter les calculs du n° 715, et l’on trouve, pour le cylindre circonscrit à la sphère, l’équation

(ô2-f- l)x*-(-(a2-(-l)ÿs-f (a4-f- b’i)zt — 2 abxy — 2ar* — 2 byz = (a*+é*+ 4)r*.

Surfaces coniques.

719. On appelle cône ou surface conique la surface engendrée par une droite qui passe constamment par un même point, nommé centre ou sommet, et qui d’ailleurs se meut suivant telle loi qu’on voudra.

720. On peut donc assimiler un cône à une surface pyramidale d’une infinité de faces; et par suite on conclut, comme pour le cylindre, que le contact d’un plan avec un cône doit avoir lieu suivant une génératrice entière.

721. Problème. On donne le sommet d'un cône et une courbe sur laquelle la génératrice doit toujours s'appuyer : on demande l'équation du cône.

Désignons par a, b, c, les coordonnées du sommet. Pour la génératrice, je prendrai les équations [1] x — a = a(z — c), y — é = p(2— c);

pour la directrice, je prendrai l-J f[x, y, *) = 0, fl{x,y,z) = 0.

Puisque la génératrice doit toujours s’appuyer sur la directrice , il résulte de là une condition que je représenterai par l’équation

Alors il n’y a plus qu’à éliminer a et p entre cette équation et celles de la génératrice : on aura ainsi l’équation du cône ,