CO S ^ CL

donne 2 sin J a > a cos J a : donc on a

sin a > a cos* ^ a.

Mais on a cos5 ‘ a = 1 — sin* { a, et par conséquent cos* {a > 1 — (*a)*; donc

sin a > a -.

Appliquons ce résultat à l’arc 10". D’après la valeur [1], en augmentant d’une unité la 5e décimale, on aura arc 10" <0,00005; donc { (arc 10”)* < 0,00000 00000 00032. Par suite il viendra

sin 10 > (0)00000 00000 00032;

et, en opérant la soustraction , sin 10" > 0,00004 8481368078....

On voit que ce sinus ne commence à différer de l’arc 10" que par la 13* décimale; et même, dans l’arc, cette 13* décimale n’a qu’une unité de plus. En conséquence, on prendra

et on sera assuré que l’erreur est moindre qu’une unité du 13e ordre.

En effet, il est clair que la valeur précédente devient trop petite si on ôte une unité à son dernier chiffre; et qu’au contraire, si on lui en ajoute une, elle devient trop grande, car alors elle surpasserait l’arc.

En mettant la valeur de sin 10" sous le radical yV — sin* 10", on trouve cos 10", savoir :

cos 10" = 0,99999 99988 248.

Ensuite on pourra obtenir successivement les sinus et les cosinus de 20", 30", 40',... jusqu’à 45°, au moyen des formules connues sin (a -f- b) = sin acosô -f- cosasini, cos (a -f- b) = cos a cos b — sin a sin b.

53. Les calculs se font plus rapidement par le procédé suivant, que j’emprunte à Thomas Simpson, géomètre anglais.

Les formules du n° 38 donnent

sin (a -|- b) = 2 cos S sin a — sin (a — è), cos(a -f b) = 2 cos b cos a — cos (a — é).

On peut considérer les arcs a — b, a, a -{-b, comme trois termes consécutifs d’une progression arithmétique dont la raison est b; donc, si on nomme t, t', t", ces trois termes, on a

sin f" = 2cos6 sin /' — sin t, cos t" = 2 cos b cos t' — cos t.

La première formule montre que deux sinus consécutifs étant calculés, on trouvera le sinus suivant en multipliant le dernier par 2 cos b, l’avant-dernier par — 1 , et en ajoutant les deux produits. Même règle pour les cosinus.

En conséquence, pour obtenir les sinus et les cosinus de 10 secondes en 10 secondes, on fera b = 10"; et en nommant a et p les valeurs connues de sin 10" et cos 10", on aura

sin 0=0, sin 10"= a, sin 20"= 2fî sin 10", sin 30"= 2? sin 20"— sin 1 0", sin 40" = 2? sin 30"— sin 20", etc.

cos 0=1, coslO"= p,

cos20" = 2{3 cos 10" — 1 , cos 30" = 2p cos 20" — cos 10", cos 40” = 2fî cos 30" — cos 20", etc.

Mais comme 2 fi diffère peu de 2 unités, ces calculs peuvent

TRIGONOMÉTRIE

encore être abrégés. Désignons par k la différence 2 — 23, on aura k = 0,00000 00023 504 et 2j3 — 2 — k. Par suite la valeur de sin t" devient

sin t" = 2 sin t' — k sin t' — sin t , d’où sin t" — sin t' = (sin f — sin t) — k sin t'.

Quand la différence sin?” — sin ?' sera calculée, on l’ajoutera à sin ?', et on connaîtra sin t". Or, d’après la dernière formule, cette différence est égale à sin?' — sin?, différence déjà calculée avant d’arriver à l’arc ?", moins le produit k sin ?' ; donc la seule opération laborieuse, qui se renouvelle à chaque sinus, sera la multiplication du dernier sinus par le nombre constant k = 0,00000 00023 304. Mais cette opération peut elle - même être abrégée en formant d’avance les produits de 23304 par les chiffres 1, 2, 3, ... jusqu’à 9 : par là on aura immédiatement les produits partiels qui composent chaque produit tel que A1 sin?', et il ne restera qu’à les ajouter. Des calculs presque semblables feront connaître les cosinus.

Pendant une si longue suite d’opérations les erreurs pouvant se multiplier considérablement, on comprend qu’il est impossible de conserver treize décimales exactes jusqu’à la fin. Pour déterminer le degré de précision sur lequel on doit compter, je chercherai bientôt (56), par des procédés qui donnent une approximation certaine, les valeurs de plusieurs sinus et cosinus; et alors le nombre des décimales qui leur seront communes avec les valeurs fournies par les calculs qui viennent d’être expliqués, indiquera assez sûrement les décimales que l’on peut regarder comme exactes dans les résultats intermédiaires.

Si l’on venait à reconnaître que l’approximation est insuffisante, on choisirait pour point de départ un arc moindre que 10”, celui de 1", par exemple, et on recommencerait tous les calculs.

54. Dans la pratique, il est bien moins utile d’avoir les nombres trigonométriques que leurs logarithmes : aussi les tables donnentelles immédiatement ces derniers. Mais en conservant la supposition du rayon =■ 1, les sin et les cos seraient des fractions, et par suite leurs logarithmes seraient négatifs. Afin de les rendre positifs, on fait r=10'°, ce qui revient à partager le rayon en 10 billions de parties égales ; alors le logarithme d’un sinus ou d’un cosinus ne pourra plus être négatif que pour un angle si peu différent de zéro ou de 90°, que la différence sera tout à fait négligeable.

Il est d’ailleurs facile de transporter tous les résultats de la première hypothèse à la seconde, en les multipliant par 10‘°, ou en ajoutant 10 à leurs logarithmes. En effet, dans la première hypothèse, celle de r = 1, on trouve le rapport des sinus et des cosinus au rayon ; et il est clair que si on divise le rayon en m parties égales , il faut multiplier m par tous ces rapports , pour connaître le nombre de parties contenues dans les sinus et les cosinus.

53. Les logarithmes des tangentes se déterminent par la formule

tanga = , laquelle donne

cos a

log tang a = log sin a -f (10 — log cos a) :

c'est-à-dire qu'il faut ajouter au logarithme du sinus le complément arithmétique de celui du cosinus.

On obtient ensuite les logarithmes des cotangentes au moyen de la relation tang a cota = r', d’où l’on lire

log cota = 10 (10 — log tanga).

Quelques tables ne contiennent pas les cotangentes : on voit qu’il est facile d’y suppléer, puisqu’il suffit d’ajouter 10 au complément arithmétique du logarithme de la tangente.

Quant aux sécantes et aux cosécantes , les tables n’en font aucune mention , attendu que leurs logarithmes se calculent sans peine par ceux du sinus et du cosinus. On fait d’ailleurs très-peu usage de ces deux lignes.

Les tables ne vont jamais plus loin que 45". Au delà, on obtient les sin et les tang par les cos et les cot, et vice verm : par exemple, a étant > 45°, on aurait sin a = cos (90° — a). La disposition des tables épargne même le calcul de ce complément.

Calculs des sinus et cosinus de 9° en 9°, pour la vérification des tailles.

50. Pour obtenir les vérifications dont il a été parlé plus haut à la fin du n° 53, je vais calculer les sinus et les cosinus des arcs de 9" en 9°.

Soit d’abord sin 18° = x; SU sera la corde de 36° ou le côté du décagone régulier inscrit. Or, ce côté est égal au plus grand segment du rayon divisé en moyenne et extrême raison; donc, le rayon étant 1, on a 4æs = 1 X (I — ix). De là on lire

TRIGONOMÉTRIE

puis, en résolvant cette équation et négligeant la valeur négative de x, qui nous est inutile, il vient

x — sin 18° s= cos 72° = f (— i + \3)«

Avec cette valeur, on trouve facilement

y 1 x * = cos 18° = sin 72° = { V10 + -V3- Mettons ces valeurs de sin 18° et cos 18° à la place de sin n et cos a dans les formules qui expriment sin 2e et cos 2a (29);

on aura

sin 36° = cos 54° = \ y/lO— 2y5.

cos 36” = sin 34° = { (1 + V3)-

Substituons la même valeur de sin 48°, dans les formules qui donnent les valeurs de sin J a et cos J n en fonction de sin a (32); il viendra

sin 9° = cos 81° = { v'3 + V3 — * V^3 — V3» cos 9° = sin 81° = -J- \/3-f V3 + W3 — V3>

Enfin, si on remplace, dans les mêmes formules, sine par la valeur sin 54° = { (1 + V3)» on en déduit

sin 27° = cos 63° = i v'3 + V3 — i V3 — V3> cos 27" = sin 63° = { v'3 + V3 + ï v'3 — V3- D’un autre côté, rappelons qu’on a (8) sin 45° = cos 43" = V \ 2 ; et nous formerons le tableau suivant :

sin 0° = cos 90° = 0,

sin 9" = cos 81° = * + V3 — iV3 — V3>

sin 18° = cos 72" = } ( — 1 + yb),

sin 27" = cos 63“ = £ ^5+ v'3— 1 ^3 — V3, sin 36" = cos 54° = *- y/iO — 2y5, sin45° = cos45"= î-y'2, sin 54° = cos 36° = \ (1 + yb),

sin 63° = cos 27° = } v;5 + V3 + t y'3 — V3> sin 72° = cos 18° = -[ vAo -h 2y’b, sin 81° = cos 9° = ’■ y/3 + yb + { v/3 ~ V3> sin 90° = cos 0° = \ .

Ces diverses expressions étant fort simples et ne renfermant que des racines carrées, il sera facile d’avoir leurs valeurs avec

autant de décimales exactes qu’on voudra. Ces valeurs sont celles qui doivent servir à vérifier les calculs expliqués n° 53. On pourrait même descendre par la bissection aux arcs de 4° 30' et de 2“ 15’, puis remonter aux multiples successifs de 2° 15', ce qui fournirait de nouvelles vérifications. Il en existe encore d’autres , mais de plus grands détails ne seraient pas ici à leur place.

Disposition et usage des Tables de Gallet.

57. Les Tables de Callet sont les meilleures pour l'ancienne division, et celles de Borda pour la nouvelle. Dans l’ouvrage de Callet, trois tables principales sont à distinguer. La première contient les log des nombres jusqu’à 108000; j’ai expliqué dans mon traité d’algèbre comment elles sont disposées et comment on doit s’en servir. La deuxième renferme les logarithmes des sin, tang et cos, pour tous les arcs de minute en minute, selon la nouvelle division; et la troisième, ceux des sin, cos, tang et cot, de 10" en 10", pour l’ancienne division. Je ne parlerai ici que des dernières, attendu que les instruments et les calculs astronomiques sont toujours assujettis à la division sexagésimale.

58. On y trouve d’abord les log-sin et les log-tang de seconde en seconde jusqu’à 5°, et par conséquent aussi les log-cos et les log-cot des angles au-dessus de 85°. C’est à cette partie de la table qu’on a recours quand les arcs sont dans ces limites. A la suite viennent les logarithmes des sin, cos, tang et cot, de 10" en 10". Ils sont écrits dans les colonnes intitulées sinus, cosin, etc. Quand la tang ou la cot est plus grande que le rayon, son logarithme surpasse 10; dans la table on a supprimé la dizaine, mais il ne faut pas oublier de la rétablir.

Si on ne regarde que les degrés qui sont à la tête de chaque page, on croira que les tables ne s’étendent que jusqu’à 45°; mais si on

observe que les colonnes marquées par en haut sinus, cosin,

sont marquées par en bas cosin, sinus, ... on voit qu’en consultant les degrés et les titres qui sont au bas des pages, ainsi que les colonnes ascendantes placées à droite pour les minutes et secondes, on aura les logarithmes des sin, cos, etc., depuis 45° jusqu’à 90°.

D’après ce qui précède, on trouve sur-le-champ