TABLES TRIGONOMÉTRIQUES ET RÉSOLUTION DES TRIANGLES
Construction des tables trigonocnétriques.
49. Pour qu’il y ait une véritable utilité à remplacer les angles et les arcs par les sin, cos, etc, , il faut, quand l’arc est donné, qu’on puisse connaître les nombres qui expriment ces quantités, et réciproquement. Le meilleur moyen d’atteindre ce but est de former des tables dans lesquelles ces nombres se trouvent écrits à côté des arcs auxquels ils correspondent. C’est pourquoi je vais enseigner à calculer les sin, cos, etc., pour tous les arcs de 10" en 10", dans la division ancienne. Cette loi est celle suivant laquelle les arcs se succèdent dans les Tables de Caixet. Je ne parle ici que de l’ancienne division; si l’on adoptait la nouvelle, la marche qui va être tracée serait encore applicable.
Cherchons d’abord sin 10". A cet effet, rappelons que le rapport de la circonférence au diamètre est r. = 3, 14159 26535 89793.... Quand le rayon est pris pour unité, la demi-circonférence est donc égale à n ; et comme il y a 648000 secondes dans 180°, on aura, en parties du rayon,
[1] arc 10" = = 0,00004 84813 68110....
Or, un très-petit arc étant à fort peu près égal à son sinus, le nombre ci-dessus peut être regardé comme une valeur très-approchée de sin 10". Mais ceci demande quelques développements.
50. D’abord je vais démontrer que dans le premier quadrant un arc est plus grand que son sinus et moindre que sa tangente.
Soient (fig. 12) AP le sinus de Tare AB, et AT la tangente : pliez la figure autour de OT, et supposez que le point A vienne en C. On aura arc AC > corde AC, et par suite arc AB> AP; donc l’arc est plus grand que le sinus. On a aussi arc AC < AT -f- CT; donc arc AB < AT; donc Tare est moindre que la tangente.
De là il suit que si -1^- diffère très-peu de 1 , le rapport — -sin a r sm a
en différera moins encore.
TRIGONOMÉTRIE
51 . En second lieu, je dis que si l’on fait décroître un arc jusqu’à zéro, le rapport de cet arc à son sinus peut devenir aussi peu différent qu’on voudra de l’unité : c’est-à-dire que ce rapport a pour limite l’unité.
La formule tang a = — — (28) donne -a.np n = — - — . Or, eu cos a sin a cos a
diminuant l’arc a (qui est supposé < 90°), le cosinus augmente et peut approcher autant qu’on veut de l’unité; donc le rapport
— — , ou son égal <anp ' , va en diminuant et a pour limite runité. cos a sma
L’arc étant plus grand que le sinus et moindre que la tangente,
, , a ........ tanga
le rapport-: — ne peut jamais être ni < 1 m> - . - ; donc, sin a ' sm a
puisque ce dernier rapport peut approcher autant qu’on veut de l’unité, il en sera de même du premier. C’est ce qu’il fallait démontrer, et c’est pourquoi l’on prend la valeur de l’arc 10" pour celle de sin 10".
52. Il faut maintenant déterminer le degré de l’approximation, alin de rejeter les décimales inutiles. On a sin a = 2 siu { « cos ‘ a.
sin * a
Or, l’inégalité tang -J- a > [ a, laquelle revient à * > ) a,
