L. tang -) (P — Q
Le reste s’achève comme plus haut.
92. Exemple VII (fig. 25). Trois points remarquables A, B, C, sont situés sur un terrain uni; et l’on veut y retrouver le point M, d’où les distances AB et AC ont été vues sous des angles connus.
D’après l’énoncé les angles AMB et AMC sont connus. Décrivez donc sur AB un segment capable de l’angle AMB, et sur AC un segmeut capable de AMC : les arcs se couperont en A et en M; et le point M sera le point demandé. Mais cette construction étant impraticable sur le terrain , on va déterminer par le calcul l’angle BAM et la distance AM. La méthode suivante, dans laquelle on cherche d’abord les angles ABM et ACM, m’a paru la plus simple.
Je ferai les données AB = a, AC —b, BAC = A, AMB = a, AMC = p ; et les inconnues ABM = x, ACM = y.
Dans le quadrilatère ABMC on a
ainsi la somme des angles x et y est connue. Cherchons leur différence. Les triangles ABM et ACM donnent
AM sinx AM
sin y sin?'
En égalant les valeurs de AM, tirées de ces deux proportions, on a asinx b sin y 6 sin a sinx
sin a a sin ?
sin? ’
ou
a sin ? sin y
Posons a' — ■' 7 : la quantité a' sera facile à calculer par loga-
sina
rithmes. Par suite on aura
b sinx ,, , b-\- a' sin x 4- sin y
- = , d OU t ;=- ! : “ j
a sin y b — a sinx — sm y
donc (40)
b + a'tang’(x-fy) b — a' tang{(x — y)'
Puisque la somme x -j- y est connue, on aura la différence x — y au moyen de la dernière égalité, et ensuite on trouvera facilement x et y. Alors on aura l’angle BAM = 180° — (a -f- x), et la distance AM sera donnée par l’une des proportions [I].
Relations entre les angles et les côtés tl’un triangle sphérique.
93. Formite fondamentale. Les parties d’un triangle sphérique tracé sur une sphère donnée, sont connues lorsqu’on sait le nombre de degrés que contient chacune d’elles. La solution des questions relatives aux triangles sphériques dépend donc des relations qui existent entre ces nombres de degrés, c’est-à-dire entre les nombres trigonométriques correspondants, sinus, cosinus, etc. En conséquence, je vais établir d’abord la formule qui lie un angle quelconque avec les trois côtés, et je montrerai ensuite comment on en en déduit la solution de tous les cas que peuvent présenter les triangles sphériques. Les angles seront toujours désignés par A, B, C ; et les côtés opposés, par a, A, c.
Soit O (fig. 26) le centre de la sphère sur laquelle est situé le triangle ABC : je mène les rayons OA, OB, OC; j’élève sur OA les perpendiculaires AD et AE, l’une dans le plan OAB, l’autre dans le plan OAC, ef je suppose qu’elles rencontrent en D et E les rayons OB et OC prolongés. L’angle DAE est égal à l’angle A du triangle sphérique; et, en prenant OA pour unité, on aura AD = tangc, OD = séc c, AE = tang b, OE = séc b.
Cela posé, les triangles DAE, DOE, donnent (66)
ÂÜ* -f AE* — 2AD.AE.cos A = DE’,
ÔDS + ÜË1 — 20D.0E. cos « = DË\
De la 2* égalité retranchons la i", remarquons que OD2 — ADS = OE* — AE* = 1, remplaçons les lignes par leurs désignations trigonométriques, et divisons par 2. il vient
\ — séc b séc c cos o -f- tang b tang c cos A = 0 :
I ci n h
mais séc b ■.
donc on a
