sin b

— r , tang b = -, secc = , tange :

cos A cos A cosc

cos a

cos A cos c

sin b sine cos A cos A cos c

sin c cos c’

TRItiOKGMÉTUIE. 6i

En chassant le dénominateur, et transposant cos a dans le premier membre , il vient

[1] cos a = cos b cosc -f~ sin ^ sin c cos A.

Telle est la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique.

9i. Dans la figure les côtés b et c sont moindres que 90°, mais il est facile de voir que la formule [i] est générale. Supposons que l’un de ces côtés surpasse 90°, et que ce soit, par exemple, b ou AG (fig. 27) : j’achève les demi-circonférences CAC', CBC', et je forme ainsi le triangle ABC', dont les côtés a' et b', ou BC' et AC', sont suppléments de a et b, et dont l’angle BAC' est supplément de A. Puisque les côtés b' et c sont moindres que 90°, la formule [1] s’applique au triangle ABC', et donne

cos a' — cos b' cos c -j- sin b' sin c cos BAC'.

Or, a' = 1 80° — a,b' — i 80° — b, BAC' = 180° — A: en substituant ces valeurs, et changeant les signes des deux membres, on retrouve la formule [1] ; donc elle convient au cas où l’on a b > 90°.

Supposons que les deux côtés b et c surpassent 90° (fig. 28) : je prolonge les côtés AB et AC jusqu’à leur intersection A’, et je forme le triangle BCA', dans lequel l’angle A' est égal à A, et les côtés b' et c' égaux aux suppléments de b et c. La formule [1], étant appliquée à ce triangle , devra avoir lieu en y remplaçant , b et c par 180° — b et 180° — c : or, ces substitutions n’y produisent aucun changement.

Enfin , on peut vérifier aussi la formule dans le cas où l’on a b = 90° et c = 90°, ensemble ou isolément. Mais comme elle convient à des valeurs aussi voisines qu’on voudra de 90°, il est évident qu’elle doit encore subsister dans ces cas particuliers.

Supposons que l’angle A soit droit : alors cos A = 0, et la formule générale devient cos a — cos b cosc, c’est-à-dire que dans un triangle sphérique rectangle , le cosinus de l hypoténuse est égal au produit des cosinus des deux côtés de l’angle droit.

95. On peut appliquer la formule [1] à chacun des côtés du triangle, et on aura ainsi trois équations , au moyen desquels on pourra toujours déterminer trois parties quelconques de ce triangle , quand les trois autres seront connues. Mais pour la pratique il est nécessaire d’avoir séparément les diverses relations qui existent entre quatre parties du triangle , prises de toutes les ma-

nières possibles. 11 n’y a on tout que quatre combinaisons distinctes que nous allons parcourir successivement..

96. 1° /klation entre les trois côtés et un anyle. C’est l’équation [1] déjà trouvée, laquelle en produit trois par la permutation des lettres , savoir :

[1] cos a = cos b cos c -j- sin b sin c cos A ,

[2] cos b = cos a cos c -|- sin a sin c cos B ,

[3] cos c = cos a cos b -(- sin a sin b cos C.

Pour calculer A, par exemple, au moyen des trois côtés, on se

sert de la première équation. On en tire d’abord

cos a — cos b cos c