THÉORIE DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQL'ES

Objet de la Trigonométrie. — Comment on représente par des nombres les longueurs et les angles.

Dans un triangle quelconque, rectiligne ou sphérique, il y a six parties à considérer : trois angles et Irois côtés. Pour qu’elles soient toutes déterminées, il suffit en général d’en connaître trois ; mais il faut de plus, quand le triangle est rectiligne, qu’il y ait au moins un côté parmi ces trois parties. On sait, en effet, qu’avec trois angles donnés on peut former une infinité de triangles rectilignes, lesquels ne sont point égaux , mais seulement semblables. Il est sous-entendu que la somme des trois angles donnés doit toujours être égale à deux angles droits.

La géométrie fournit des constructions fort simples pour chacun des cas où l’on peut déterminer un triangle au moyen de quelques-unes de ses parties; mais elles ont, ainsi que tous les procédés graphiques dont on pourrait s’aider, l’inconvénient de ne donner qu’une approximation très-médiocre, et souvent même insuffisante, à cause de l’imperfection des instruments dont elle

exige l’emploi. Aussi a-t-on cherché à remplacer ces constructions par des calculs numériques, qui permettent toujours d’atteindre le degré de précision dont on a besoin. L’objet spécial de la trigonométrie est de donner des méthodes pour calculer toutes les parties d'un triangle , quand on a des données suffisantes. C’est ce qu’on appelle résoudre un triangle.

2. Four exprimer les longueurs en nombres , on les rapporte à une unité usuelle, au mètre, par exemple; et alors chaque côté est égal à un certain nombre de mètres.

3. On désigne les angles par les arcs qui leur servent de mesure. A cet etfet, on divise la circonférence, quel que soit son rayon, en un certain nombre de parties égales ou degrés; et alors un angle ou un arc est exprimé par un nombre de degrés.

Autrefois les géomètres s’accordaient à diviser la circonférence en 360 degrés , le degré en 60 minutes , la minute en 60 secondes, etc. De cette manière le quart de la circonférence ou quadrant, qui est la mesure de l’angle droit, vaut 90 degrés. Mais afin d’éviter les embarras des nombres complexes, on a proposé de soumettre aussi la mesure des angles à la division décimale; et alors le quadrant est partagé en 100 degrés, le degré en 100 minutes , la minute en 1 00 secondes , etc.

Les degrés, minutes et secondes s’indiquent par les signes °, ". Ainsi, pour représenter l i degrés 9 minutes 37 secondes, on écrit ib" 9' 37". Si les degrés appartiennent à la nouvelle division, et qu’on veuille rapporter cet arc au quadrant pris pour unité, il s’exprimera par 0,140937; car, dans cette division, les degrés sont des centièmes de quadrant, les minutes sont des dix-millièmes, et les secondes sont des millionièmes. Afin de ne pas confondre dans les calculs le degré ancien avec le nouveau , quelques auteurs ont jugé à propos de distinguer ce dernier par le nom de grade.

Malgré les avantages de la nouvelle division l’ancienne prévaut encore aujourd’hui, et c’est elle que j’adopterai. Souvent aussi, dans les formules , j’emploierai la lettre H pour représenter la demi-circonférence 180°.

Définition des lignes trigonométriques. — Comment on fait usage des signes + et — pour indiquer des situations opposées.

4. Les géomètres ont dû être longtemps arrêtés par la difficulté d’établir les relations qui existent entre les angles et les côtés des

TRIGONOMÉTRIE

triangles. Leur première idée a été sans doute de substituer aux angles les arcs qui leur servent de mesure ; mais n’ayant pas trouvé plus de facilité à introduire les arcs dans le calcul, ils ont été conduits naturellement à remplacer les arcs eux-mêmes par des droites qui en dépendent, de telle sorte qu’elles soient déterminées quand l’arc est connu, et réciproquement. Ces droites, dont l’utilité s’étend aujourd'hui à toutes les branches des mathématiques, sont celles qu’on nomme collectivement lignes trigonométriques et que nous allons définir.

Le sinus de l’arc AM (fig. 1) est la perpendiculaire MP abaissée, d'une extrétnité de l’arc , sur le diamètre qui passe par l’autre extrémité.

La tangente de AM est la distance AT interceptée, sur la tangente menée à l’une des extrémités de l’arc , entre cette extrémité et le prolongement du rayon OM qui passe par l’autre extrémité.

La sécante est la partie OT du rayon prolongé , comprise entre le centre et la tangente.

En représentant l'arc AM par x, le sinus, la tangente et la sécante se désignent d’une manière abrégée comme il suit : MP = sin x, AT = tang x, OT = séc x.

Prolongez MP jusqu’à la rencontre N avec le cercle : la corde MN sera double de MP, et l’arc MAN double de AM; donc le sinus d'un arc est moitié de la corde qui sous-tend un arc double.

En désignant le rayon du cercle par r, le côté du carré inscrit est égal à ?’v2 : or, l’arc sous-tendu est de 90"; donc sin 4ô0= |ry2. Pareillement le côté de l’hexagone inscrit étant égal à r, et l’arc sous-tendu étant de C0°, il s’ensuit que sin 30" = {r.

5. On appelle complément d’un arc ou d’un angle ce qu’il faut lui ajouter pour avoir le quadrant 90" . Quand l’arc est plus grand que 90°, son complément est négatif : par exemple, le complément de 127° est — 37°. Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont compléments l’un de l’autre.

On nomme cosinus, cotangente et cosécante d’un arc, le sinus, la tangente et la sécante du complément de cet arc ; et pour désigner ces nouvelles lignes, on emploie les abréviations cos,cot, coséc. Ainsi, d’après les définitions mêmes, on a cos x=sin (90° — x), colx — tang (90° — x), coséc x — séc (90° — x).

Élevons le rayon 015 perpendiculaire à OA, et menons MQ, BS, perpendiculaires à OB. L’arc BM aura MQ pour sinus, BS pour

tangente, OS pour sécante : or l’arc BM est le complément de AM ; donc, en désignant toujours AM par ï, on a MQ = cos x, BS = cot x , OS = coséc x.

Remarquez que MQ = OP ; c’est-à-dire que le cosinus est égal à la partie du rayon comprise entre le centre et le pied du sinus.

6. La distance AP, comprise entre l’origine de l’arc et le pied du sinus, a reçu le nom de sinus-verse; et la distance BQ, celui de cosinus-verse. Mais ces deux lignes sont hors d’usage.

7. En donnant au point M toutes les positions possibles sur la circonférence, les lignes trigonométriques peuvent prendre des situations tout à fait contraires à celles qu’elles ont quand l’arc AM est moindre que 90°. Par exemple, s’il s’agit de l’arc AM', dont le complément est négatif et égal à BM', le cosinus QM' ou OP' se trouve placé à gauche du point O, tandis que d’abord il était à droite. De tels changements dans la position des lignes amènent en général, dans le calcul, des difficultés que la question suivante, quoique très-simple, rendra sensibles.

Soit ABX (fig. 2) une ligne quelconque sur laquelle sont donnés deux points A et B, séparés par la distance AB = a. On suppose connu l’intervalle x du point B à un point quelconque M de la ligne ABX, et on veut avoir l’intervalle du point A à ce dernier point. Si on désigne l’intervalle demandé par z , il est clair qu’on aura

z = a-\-x ou z — a — x,

selon que le point M est situé du côté BX ou du côté BA : de sorte qu’il faut employer deux formules différentes pour ces deux positions du point M. Mais on élude cet inconvénient de la manière la plus heureuse, et une seule formule suffira, en ayant soint de donner des signes différents aux distances qui ont des dispositions contraires par rapport au point B. Et en effet, si, dans la première formule z = a -f- x, on fait successivement x = -f- BM et x = — BM, il vient d’abord z = a -f- BM et ensuite z = a — BM , ainsi que cela doit être. De cette manière, la première formule z = a-{-x conviendra à toutes les positions du point M, et la seconde devient inutile.

On pourrait aussi prendre x positif du côté BA, et négatif du côté BX : alors ce serait la seconde formule, z — a — x, qu’il faudrait conserver. Il serait facile de multiplier les exemples, mais

TRIGONOMÉTRIE. Ô

ce qui précède suffit pour faire pressentir l'importance de la règle suivante , établie par Descartes.

Si on considère sur une ligne quelconque , droite ou courbe, différentes distances , mesurées à partir d’une origine commune , fixe sur cette ligne , on introduira dans le calcul les distances qui ont des situations opposées par rapport à l’origine, en affectant les unes du signe -}- , et les autres du signe — .

Le sens des distances positives est d’ailleurs tout à fait indifférent; mais une fois qu'il a été fixé, les distances négatives doivent se prendre du côté opposé. A l’égard des lignes trigonométriques, l’usage est de les considérer comme positives dans la situation qu’elles occupent lorsque l’arc est moindre que 90", et qui est aussi celle où elles se présentent d’abord.

Nous aurons bientôt occasion de faire de nombreuses applications de cette règle; mais avant d’aller plus loin , je dois prémunir le lecteur contre une erreur assez ordinaire, laquelle consiste à assimiler le principe dont il s’agit à un théorème susceptible d’être démontré à priori. Il s’en faut de beaucoup qu’il en soit ainsi; et quelles que soient les considérations plus ou moins ingénieuses dont les auteurs l’aient étayé, on doit reconnaître qu’il n’est véritablement qu’une simple convention, à laquelle il faut avoir soin de ne pas contrevenir dans la suite , et dont l’utilité est rendue évidente par les applications qu’on en fait.

Marche progressive des lignes trigonométriques. — Comment on les ramène au premier quadrant.

8. Quand le rayon OM (fig. 1) est couché sur AO, il est évident que l’arc AM est nul , que le sinus est nul , que la tangente est nulle, et que la sécante est égale à OA. En même temps le cosinus MQ devient aussi égal à OA : et quant à la cotangente et à la cosécante, elles sont infinies; car il est évident que les lignes BS et OS augmentent à mesure qu’on rapproche OM de OA, et qu’elles peuvent devenir aussi grandes qu’on voudra. Ainsi, en nommant r le rayon , on a

sin0 = 0, tang0 = 0, sécO = r,

cosO = r, cotü = <*>, cosécO = co.

Si le rayon OM s’élève vers la position OB, il est facile de voir que le sinus, la tangente et la sécante augmentent, tandis que le cosinus, la cotangente et la cosécante diminuent,

Lorsque le point M est au milieu de AB, l’arc AM est de 45°, le triangle OPM est isoscèle, et le sinus est égal au cosinus. Or ce triangle donne 2MP* = >•*, d’où MP = {ry'2; donc

sin 45° = cos 45° = J ry2.

Les triangles OAT, OBS, étant aussi isoscèles et égaux entre eux , la tangente et la cotangente sont égales au rayon ; donc

tang 45° = cot 45° = r.

Enfin la sécante et la cosécante sont aussi égales ; et le triangle OAT donnant OT1 = 2r*, d’où OT = r\2, on conclut

séc 45° = coséc 45° = ry2.

Quand le point M est venu en B, le sinus est égal à BO, la tangente et la sécante sont infinies, le cosinus MQ est nul, la cotangente BS est nulle aussi , et la cosécante OS devient égale à OB. On a donc

sin 90° = r, tang 90u = co , séc 90° = co,

cos 90° = 0 , cot 90° — 0 , coséc 90° = r.

Au reste, ces valeurs sont des conséquences de celles qui ont été trouvées quand l’arc était nul : car les arcs 0 et 90° étant compléments l’un de l’autre, on doit avoir sin 90°=cos0, tang 90° = cot O, séc 90°= coséc 0, cos 90°= sin 0, cot 90°= tang 0, coséc 90°=séc0.

9. Le rayon OM continuant sa rotation, supposons-le arrivé en OM'; alors l’<*rc est AM', et son sinus est M'P'. Menez M'M parallèle à A'A, et construisez toutes les lignes trigonométriques de l’arc AM, ainsi que l’indique la figure. D’abord il est clair que les sinus MP et M'P' seront égaux; donc sin AM’ = sin AM.

Pour avoir la tangente , il faut prolonger le rayon OM' au-dessous du diamètre AA', d’où il résulte que cette tangente, qui est ici AT', se trouve dans une position opposée à celle qu'elle avait d’abord ; par conséquent elle sera négative. Or les triangles égaux OAT, OAT' donnent AT' = AT; donc tang AM' = — tang AM.

D’après la définition (4), la sécante de l’arc AM' est OT'. Cette ligne n’est plus dirigée sur le rayon OM', du même côté du centre que le point décrivant M', mais elle est du côté opposé. Pour cette raison elle doit être négative; et comme d’ailleurs OT' = OT, il s’ensuit que séc AM' = — séc AM.

Le cosinus, la cotangente et la cosécante donnent lieu à des remarques analogues. Puisque l’arc AM' surpasse 90°, son complé-

TRIGONOMÉTRIE

ment est négatif; et, en outre, comme le cosinus QM' ou OP' se trouve à gauche du point O, on prendra aussi ce cosinus négativement. Même raisonnement à l’égard de la cotangente BS'. Quant à la sécante OS', il n’y a pas lieu à l’affecter du signe — ; car elle est sur OM' du même côté que le point décrivant, comme cela avait lieu dans le premier quadrant. Les triangles OBM et OBM' étant égaux ainsi que OBS et OBS', on a QM'=QM, BS' = BS, OS' = OS; donc cos AM' = — cosAM, cotAM'= — cotAM, cosécAM' = cosécAM.

On appelle supplément d’un arc ou d’un angle ce qu’il faut lui ajouter pour avoir 180°; donc A'M' ou son égal AM est le supplément de AM', et l’on peut énoncer les propriétés trouvées plus haut en disant que deux ares supplémentaires ont leurs lignes trigonométriques égales et de signes contraires , à l’exception du sinus et de la cosécante, qui ne changent pas de signe.

Si on veut exprimer ces propriétés par des équations , on désignera AM' par x : alors on aura AM = A'M1 =* 180" — x, et ensuite on pourra écrire

fsina; = sin(180° — x), Icos# = — cos(180° — x), tang x = — tang(180° — x), (cota: = — cot(180° — x), séca: = — séc(180° — x), ( coséca: = coséc (180° — x).

II est d’ailleurs évident que, de 90° à 180°, le sinus, la tangente et la sécante diminuent; et qu’au contraire, le cosinus, la cotangente et la cosécante augmentent. Quand OM coïncide avec OA', on a sini80° = 0, tangl80° = 0, sec 180° = — r,

cosl80° = — r, cot 1 80° = — oo, coséc 180° = <».

Toutes ces valeurs peuvent se déduire des relations [1] en faisant æ = 1 80° . Par exemple , la relation cos x = — cos (1 80° — x) devient cos 1 80° = — cos 0 : or cos 0 = r ; donc cos 180° = — r, ainsi que cela doit être.

10. Les applications de l’analyse à la géométrie conduisent fréquemment à des arcs qui renferment plusieurs demi-circonférences. Il convient donc de donner encore des formules pour réduire aussi tous ces arcs aii premier quadrant. Afin d’abréger, nous considérerons spécialement le sinus et le cosinus, qui sont les lignes les plus usitées; et comme tout arc plus grand que la demi circonférence se compose d’un arc moindre que 180°, augmenté d’une ou plusieurs fois 180", nous examinerons d’abord ce que doivent être le sinus et le cosinus de l’arc 180° + x, x étant <; 180°.

l’KEMlEKli l'.VK I IE.

Soit AM l’arc désigné par x, lequel peut être pris comme on voudra entre 0 et 180° : en ajoutant à AM la demi-circonférence MA'N', le nouvel arc AMA'N' sera égal à 180° -(- x. Les deux arcs ont des sinus égaux : savoir, MP et N'P', ou, ce qui est la même chose , OQ et OQ' : mais comme ces lignes ont des positions inverses on doit, conformément à la convention établie (7), leur donner des signes contraires. Les cosinus OP et OP' sont aussi égaux, et doivent aussi avoir des signes différents; donc

[2] sin (180° -j- x) = — sinx, cos (180° + x) = — cos x.

En second lieu, ajoutons 360° à AM, il est clair qu’on revient au même point M de la circonférence, et que par suite toutes les lignes trigonométriques redeviennent les mêmes. Ainsi on a

[3] sin (360° -j- x) — sin x, cos(360° + x) =cosx.

En général, quelque grandeur qu’on suppose à l’arc x, si ou lui ajoute 180° ou un nombre impair de demi-circonférences, son extrémité se trouvera transportée du sommet d’un diamètre au sommet opposé; et dès lors il est év ident que le sinus et le cosinus ne font que changer de signe. Mais si à x on ajoute 360° ou un nombre pair de demi-circonférences , comme on revient sur le même point du cercle, aucune ligne trigonométrique ne doit changer.

il. Il reste à parler des arcs négatifs, c’est-à-dire de ceux qui sont décrits lorsque le rayon, qui était d’abord couché sur OA, se meut dans le sens AB'A', contraire à celui qu’il a suivi d’abord.

Soient AM et AN deux arcs égaux et de situation inverse, désignés par x et — x. Il est évident que leurs sinus MP et NP sont aussi égaux et de situation inverse. Pour avoir les cosinus, on remarque que les compléments 90° — x et 90° -|- x sont représentés par les arcs BM et BMN , dont les sinus MQ et NQ' sont égaux et semblablement situés; donc on a

[4] sin( — x} = — sinx, cos( — x) = cosx.

Quoique dans la figure les arcs AM et AN soient <90°, ces formules n’en sont pas moins générales. D’abord il est clair qu’en augmentant les deux arcs autant qu’on voudra, pourvu qu’ils restent égaux, les sinus MP et NP ne cesseront pas d’être égaux et opposés; donc on a toujours sin ( — x) = — sinx. Quant à l’autre formule, supposons qu’on y mette des arcs > 90", comme ABM' et AB’N', par exemple; puis, faisons x = ABM' et — x — — AB'N'. Le

ÏK1G0K0MÊTK1E.

complément 90° — x du premier arc est négatif et représenté sur la ligure par l’arc BM', situé à gauche du point B, tandis que le complément 90° -j- x du second arc est égal à BAN', et toujours à droite du point B. Or les sinus M Q et N'Q' de ces arcs complémentaires sont égaux , et ont même situation à l’égard du diamètre BB' ; donc on a toujours cos( — x) = cosx. Ainsi les formules [4] ont toute la généralité désirable.

Il est bon de remarquer que le cosinus d’un arc quelconque, positif ou négatif, est toujours représenté en grandeur et en situation par la distance du centre au pied du sinus.

12. Il est bon de remarquer aussi, avant d’aller plus loin, que les formules [I], [2], [3], [4], trouvées jusqu’à présent peuvent s’appliquer à tous les arcs possibles tant positifs que négatifs. Pour plus de brièveté je ne m’occuperai que du sinus et du cosinus.

1° Reprenons n“ 9 les deux formules sin x — sin(!80° — x), cosx — — cos (180° — x), lesquelles n’ont été démontrées que pour les arcs positifs compris entre 0 et 480°. En changeant x en I80°-f- x, elles deviennent

sin (180° + x) = sin( — x), cos (180° + x) — — cos( — x) :

égalités évidentes en vertu des relations [2] et [4]. Il est clair que l’arc peut encore être augmenté de 180°, et ainsi de suite jusqu’à l’intini. En mettant — x au lieu de x, on voit de la même manière que les deux formules sont encore vraies : donc elles conviennent à tous les arcs possibles.

2“ Les formules [2], qui ont été démontrées pour tous les arcs positifs, s’étendent aussi aux arcs négatifs. En effet, si on y change x en — x, elles deviennent

sin (180° — x) = — sin ( — x) = sin x, cos (4 80° — x) = — cos( — x) = — cos x.

et rentrent alors dans les formules [4].

3” Puisque l’addition de 180° à un arc quelconque -\-x ou — x ne fait que changer les signes du sinus ou du cosinus, il s’ensuit que l’addition de 360° ne doit produire aucun changement; par conséquent les formules [3] conviennent aussi aux arcs négatifs.

4° Quant aux formules [4], elles ne donnent lieu à aucune démonstration; car il est évident qu'on peut y remplacer x par — x.

13. Rien n’est plus facile maintenant que de ramener au premier

quadrant les lignes trigonométriques de tel arc qu'on voudra. Soit x = 1029° un arc dont on demande le sinus. On en retranche 360° autant de fois que possible, et il reste 309° ; donc, d’après les formules [3], sin x = sin 309°. On ôte encore 180° de 309u, et, par les formules [2], on a sin.r = — sin 129°. Enfin, on jirend le supplément de 129°, qui est Si0, et il vient sinx = — sin 31° (9). On peut même encore pousser la réduction plus loin, car sin 51° = cos (90° — 51) = cos 39° ; donc sin x = — cos 39°.

Si l’arc donné était x = — 1029°, le sinus serait de signe contraire au précédent (H), et Ton aurait sin x = cos 39°.

Sur les arcs qui répondent à un sinus donné, ou à un cosinus, etc.

14. Les développements dans lesquels on vient d’entrer font voir qu'il existe une infinité d’arcs qui ont les mêmes lignes trigonométriques. Supposons qu’une de ces lignes soit donnée, et cherchons les différents arcs qui lui correspondent.

Soit donné sin x — a. Sur le rayon OB (fig. 1) perpendiculaire à OA, je porte OQ = a, et par le point Q je mène MM' parallèle à OA. 11 est clair qu’on doit prendre pour valeurs de x tous les arcs terminés aux points M et M'. Je désigne l’arc AM par a, et 180° par H; AM' sera égal à H — a, et les arcs positifs terminés en M et M' seront compris dans les deux séries.

a, 2H-{-a, 6H + a, etc.,

H — a, 3H — a, 5H — a, 7H — a , etc.

On a AB'A'M = 2H — a et AB'A'M'=H -j- a. Ajoutons à ces arcs un nombre quelconque de circonférences , puis prenons négativement les arcs résultants. On aura ainsi tous les arcs négatifs qui répondent au sinus donné , savoir :

— 2H+«, — 4H + a, — 6H -j- a , etc.

— H — a, — 3H — a, — 5H — a, etc.

Les arcs de ces quatre séries peuvent se renfermer dans deux formules assez simples. Remarquez que dans deux de ces séries l’arc a est ajouté à tous les multiples pairs de H, tant négatifs que positifs, et que, dans les deux autres , il est retranché des multiples impairs de H. Désignons donc par k un nombre entier quelconque, positif ou négatif, lequel peut même être égal à zéro ; aiors tous les arcs cherchés pourront se représenter par les formules 111 X = 2AH -f- a , æ=:(2*-H)H — «.

TRIGONOMÉTRIE

Nous avons supposé a positif : si on avait sin x = — a, on devrait porter a en OQ', du côté OB'. Alors ce sont les arcs terminés en N' et N qui sont les valeurs de x. Faisons ABN' = a, il est facile de voir qu'on a ABN = 3H — a, AB'N' = 2H — a, et AN = a — H. Par suite, les valeurs de x, tant négatives que positives, qui répondent au sinus OQ', sont

a 2H-)-a, 4 11-)- a, etc. 3H— a, 5H — a, 7H — a, etc.

— 2II-j-a, — 4H-{-a, — 6H-)-a, etc. H— a, — H — a, — 3H — a, etc.,

et il est clair qu’elles sont encore comprises dans les formules [1], Dans tous les cas, si a est plus grand que le rayon r du cercle, l’arc x sera imaginaire; car le plus grand sinus positif est + r, et le plus grand sinus négatif est — r.

15. Soit donné cos x — a. Si a est positif, on prend OP = a du côté OA, on élève au point P la perpendiculaire MN ; et les valeurs de x sont les différents arcs positifs et négatifs terminés en M et N . En faisant AM = a, il est facile de voir que ces arcs sont ceux des quatre séries

a, 2H-|-a, 4H-)-a, etc. 2H — a, 4H — a, 6H — a, etc.

— a, — 2H — a, — 4H — a, etc. — 2H-)-3, — 4H-)-a, — 6H-(-a, etc.;

et en désignant par k un nombre entier quelconque positif ou négatif, on peut comprendre tous ces arcs dans les deux formules

[2] X = 2AH -(- a, x = 2A1I — a.

Si on donne cos x = — a, on portera a du côté OA'. Alors on désignera par a l’arc AMM', et il n’y aura rien à changer à ce qui précède. Si a surpasse le rayon, l’arc x est imaginaire.

16. Soit encore tang x == a. Supposons a positif, prenons la tangente AT = a au-dessus de OA, et menons la droite TMN' qui passe au centre et rencontre le cercle en M et N'. Les valeurs de x sont les arcs positifs ou négatifs, qui se terminent en M et N'. Faisons l’arc AM = a, on aura AMN'=H-|-a, AN M=2H — a, ANN'=H — a; et les arcs cherchés seront ceux des séries

«, 2H-f-a, 4H-|-a, etc. H-)-«, 3H-)-a, 5H-)-a,etc.

— 2H-)-3, — 411-j-a, — 6H-)-3, etc. — H-j-a, — — oH-j-ct, etc.

Dans ces quatre suites, l’arc a se trouve ajouté à tous les multiples de H, positifs et négatifs; donc la formule générale des arcs cherchés est

Quand la tangente donnée a est négative , on la porte en AT', au-dessous de OA; a représente alors un arc compris entre 90» et 180°, tel que ABM'. Il est d’ailleurs évident que la tangente peut avoir telle grandeur qu’on voudra.

17. Nous n’examinerons pas les cas où Tare est donné par les autres lignes trigonométriques. Au reste, on reconnaît facilement que les arcs qui ont même sinus, ou même cosinus, ou même tangente, ont aussi même cosécanle , ou même sécante, ou même cotangente ; et c’est ce qu’on verra encore plus loin (20) quand on aura établi les relations des lignes trigonométriques entre elles. 11 suit de là que les formules [1], [2] et [3] sont encore celles qu’on doit avoir quand on donne coséc x, séc x, cot x.

Il ne faut pas oublier que, dans ces formules, a représente toujours le plus petit arc, entre 0 et 360°, correspondant à la ligne donnée, H la demi- circonférence, et k un nombre entier quelconque, positif ou négatif, lequel peut aussi être zéro.

Comment on ramène les sinus, les cosinus, etc. à de simples rapports.

18. Dans la trigonométrie, un arc n’étant employé que comme mesure d’un angle, ce n’est pas sa grandeur absolue que Ton considère, mais seulement son rapport avec la circonférence dont il fait partie. Or, c’est précisément ce rapport qui est indiqué par le nombre de degrés de Tare, et il est évident qu’il suffit pour déterminer un angle; car tous les arcs compris dans un même angle et décrits de son sommet comme centre, contiennent un égal nombre de degrés, quels que soient d’ailleurs les rayons de ces arcs.

Les rapports qui existent entre les lignes trigonométriques de ces arcs et les rayons des cercles auxquels elles appartiennent, ne dépendent aussi que de ce nombre de degrés. Par exemple, la fig. 3, dans laquelle MP, M'P', M"P",... sont des sinus d'arcs sem- , , , , , MP M F M 'P''

blables, donne — : = ce sont donc ces rapports,