UM UM UM

et non les sinus, qui sont déterminés quand on donne un angle.

La même chose peut se dire des cosinus, des tangentes, etc. On voit par là que ce ne sont pas des longueurs absolues des lignes trigonométriques, mais bien leurs rapports au rayon qui doivent entrer dans les calculs; et, par celte raison, il convient de n’y introduire que ces rapports. Pour cela le moyen est bien simple :

TRIGONOMÉTRIE

il suflit de prendre pour unité le rayon du cercle dans lequel on considère les lignes trigonométriques; car alors les valeurs numériques de ces lignes ne seront plus autre chose que ces rapports eux-mêmes. On donne quelquefois à ces rapports les noms de sinus naturels, cosinus naturels, etc.

C’est ainsi que les lignes trigonométriques se ramènent à ne plus être que de simples rapports, et c’est sous ce point de vue qu’il serait convenable de les présenter tout d’abord. Mais, pour ne point changer les habitudes de l’enseignement, je ne ferai dans les formules fondamentales aucune hypothèse sur le rayon , et je l’y désignerai toujours par r.

19. Au reste, quand un calcul a été fait en prenant le rayon pour unité, il est toujours facile de modifier les résultats de manière qu’ils soient applicables à toute autre supposition. En effet, d’après ce qui vient d’ôtre dit, il est clair que, dans la seconde hypothèse, les rapports des sinus, cosinus, etc., au rayon sont égaux aux sinus, cosinus, etc., de la première; par conséquent, il n’y aura qu'à changer dans les résultats dont il s’agit les quantités

telles que sina, tang 6, etc., en etc. Par exemple,

supposons qu’on ait trouvé d’abord, entre les arcs a et b la relation

tang b = \ . C.°S a : ces substitutions donneront t-j-sinn

tang b r

cos a r

sin a ’ r

et en réduisant on aura, sans faire aucune hypothèse sur le rayon r,

. r{r — cos a)

tang b = — — ; — ; -.

r sm a

Surtout on doit bien se garder de croire qu’il existe une longueur déterminée qui soit le rayon 1 et une autre qui soit le rayon r, de même qu’il y a des distances égales à 1 mèt., 2 mèt., etc. Le rayon doit toujours rester essentiellement indéterminé. A la vérité, chaque ligne trigonométrique d’un angle donné se trouve exprimée par des nombres différents, suivant l’hypothèse qu’on fait sur le rayon, mais ces nombres ont toujours même rapport avec celui qui représente le rayon, et c’est ce rapport seul qui entre dans les calculs.

Relation des lignes trigonométriques entre elles.

20. Les triangles de la fig. \ font connaître les relations des six lignes trigonométriques entre elles.

D’abord, le triangle OMP étant rectangle, on a

MP1 + ÜP! = ÜM’;

en second lieu, les triangles semblables OMP, OTA, donneront AT OA OT OA>

MP “ ÔP ’ OM “ ÔP ’

et, en troisième lieu, les triangles OMQ, OSB, donnent aussi