AE — BD 2CD — BE

Bs — 4AC * Bs — 4 AC ’

Seconde transformation.' Avant de procéder à cette transformation il faudrait rendre les coordonnées rectangulaires si elles ne l’étaient pas. Mais je supposerai qu’elles le soient déjà dans l’équation [C], et je cherche immédiatement de nouveaux axes rectangulaires qui fassent disparaître le produit xy, de telle sorte que l’équation résultante prenne la forme demandée

[F] Mt/5 + Nx5=P.

Pour y parvenir, dans [C] on remplace x par xcos a — y sin a , y par x sin a-j-y cos a; et on détermine a d’après la condition que

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A BEUX DIMENSIONS. 215 le multiplicateur de xy soit égal à zéro. On a trouvé (282)

et par suite on obtient facilement (25)

tuo M* — ' ' — ,

V^l -J- tang1 2a ^B*+(A — C)*

sin 2a = cos 2a tang 2a = »

t/ü’-HA-C)5

Dans ces valeurs, le radical porte avec lui le signe dr. parce qu’on peut choisir chacun des nouveaux axes pour celui des x\ mais pour écarter toute ambiguïté, je donnerai partout au radical lé signe -J-, ce qui revient à prendre sin 2a de signe contraire à B.

Maintenant il faut calculer les coefficients M , N , P. La substitution immédiate des formules x cos a — y sin a, x sin a-)- y cos a, dans l’équation [C], donne

M = A cos’a — B sin a cos a -j- C sin’a,

N = A sin’a -f- B sin a cos a -J- C cossa,

En faisant la somme M + N et la différence M — N , on trouve M -f N = A + C ,

M — N = ( A — C) (cos*a — sin’a) — 2B sin a cos a —

(A — C) cos 2a — B sin 2a — - B* + f A — G ^ + /A Cj..

v'B’-HA-c)’

et alors on obtient facilement les valeurs de M et de N. En y joignant celles de tang 2a et de P, on aura tous les éléments de la seconde transformation, savoir :

tan82a = Â^c’ M = i(A + C) + WB‘ + (A-C)*,

N = i(A + C) — ^B’ + fA-C)’, P = — F'.

(I ne faut pas oublier que sin 2a est de signe contraire à B.

271. Supposons maintenant que l’équation [A] représente une parabole, et, sans cesser de prendre des coordonnées rectangulaires, ramenons-la à la forme [IJ, My* -f Sar = 0. Dans ce cas, on fait d’abord évanouir le rectangle en changeant la direction des axes, et ensuite on déplace l’origine.

Première transformation. Elle conduit (266) à l’équation [G] My2 + Ry + Sx + F = 0.

Les axes primitifs sont supposés rectangulaires ; les nouveaux le sont aussi, et l’angle a qui détermine leur situation est donné par la même formule que dans le n“ 270. On a aussi, pour M et N, les mêmes formules ; mais comme, dans la parabole, on a B2 = 4AC, elles reçoivent de grandes simplifications.

D’abord ^B2 + (A — C)2 = dt( A + G). Relativement au signerfc, observons qu’on peut toujours rendre A positif dans l’équation [A], et qu’alors, en vertu de la relation B2 = 4 AC, C est aussi positif; donc, si on continue de prendre le radical positivement, on aura ^B2 + (A — C)2 = A C. En conséquence, il viendra

sin 2a =

— B A -fC’

On voit, ainsi qu’on devait s’y attendre, que l’évanouissement du rectangle fait disparaître un des carrés (264).

Il faut de plus calculer R et S. Or, quand on remplace dans [A] x par x cos a — y sin a, et y par x sin a -f- y cos a, on trouve

R = D cos a — E sin a, S = D sin a -|- E cos a.

Au moyen de la trigonométrie, on a d’abord ;

sin 2 a — B co s a — — = -.

2sma 2v/C(A-f C)

Puis, au moyen de ces valeurs, on obtient R et S,