V'D1 — 4AF
Or, ces valeurs ne représentent plus que deux droites parallèles, lesquelles peuvent, dans certains cas, se réduire à une seule, ou même devenir imaginaires.
Donc les ellipses et les hyperboles sont les seules courbes du second ordre dont l’équation puisse se ramener à la forme [G] Ai/* + Bxy -f Cx” -f F' = 0.
261. On pourrait penser qu’en changeant à la fois l’origine et la direction des axes, il sera possible de faire disparaître les termes du 1" degré, dans des cas où le seul changement d’origine ne suffirait pas. Il est facile de se détromper à cet égard. Supposons qu’une telle transformation ait en effet opéré cette simplification, et qu’elle ait donné l’équation [C], Remplaçons les derniers axes par d’autres qui aient même origine qu’eux, mais qui soient parallèles aux coordonnées primitives x et y. Les valeurs qu’il faudra substituer dans la dernière équation [G] seront de la forme x' — mx" -|- ny", y' — m'x” -j- n'y"-, et il est évident qu’on ne reproduira aucun terme du 4'r degré. De là je conclus que si on était passé tout d’abord de la première origine à la seconde , sans altérer la direction des premiers axes, les termes du 1er degré auraient également disparu; de sorte que la direction des axes n’a aucune influence sur l’évanouissement de ces termes.
Évanouissement des rectangles.
262. Dans ce qui précède, les coordonnées de l’équation [A] avaient une direction quelconque. On suppose, dans ce qui suit, qu’elles sont rectangulaires. Si elles ne l’étaient pas, on pourrait les rendre telles par une simple transformation d’axes.
Cela posé, cherchons à faire disparaître le produit des coordonnées en choisissant de nouveaux axes qui soient aussi rectangulaires. Il est inutile de changer l’origine : car si, en la plaçant en un certain point, ce produit disparaît, cette simplification aurait encore lieu pour toute autre origine, attendu qu’en y transportant les nouveaux axes parallèlement à eux-mêmes, les termes du second degré ne changent pas (260), et que par conséquent le produit ne saurait reparaître. Prenons donc les formules [4] du n° 191 qui servent à passer des axes rectangulaires à d’autres axes rectangulaires, et faisons-y a = 0, 6 = 0: on aura
x = x' cos a — if sin a, y = x' sin a -f- y' COS * ;
et en mettant ces valeurs dans l équation [A], on la change en une autre telle que
[D] M)/* + Kx'y’ + N.r" + Rï/ + Sîf + F = 0,
dans laquelle M, K, N, R, S, contiennent l’indéterminée a.
Pour que le terme affecté du rectangle x'y' puisse disparaître, il faut que l’équation K = 0 détermine pour a une valeur réelle. Or, si on développe les calculs autant que cela est nécessaire pour avoir K, on trouve
K = 2(A — G) sin a cos a B(cos*a — sin’a).
Ainsi, pour connaître a, l’équation à résoudre est
2(A — C) sin a cos a -f- B (cos*a — sin’a) = 0.
Dans la trigonométrie (29) , on a trouvé 2 sin a cos a = sin 2a , cos* a — sin* « = cos 2a. Par suite l’équation K = 0 devient (A — C) sin 2a -f- B cos 2a = 0,
d’où
cos 2a
= tan g 2a =
Comme la tangente peut prendre tous les états de grandeur entre — «s et + 00 , il s’ensuit que l’arc 2a est toujours réel. Cet arc peut avoir quatre valeurs : en effet, a doit être compris entre 0 et 360° (194) ; donc 2a est compris entre 0 et 360° X2, et si nous désignons par 2a' l’arc moindre que 180°, qui répond à la tangente ci-dessus, il y aura entre 0 et 360° X 2 quatre arcs qui auront cette même tangente (16). Ces quatre arcs sont 2a', 2a' -j- 180°, 2a' -j- 2. 180° , 2a' -f- 3.180°; donc a aura aussi quatre valeurs , savoir :
Les deux premières déterminent deux droites à angle droit, et les dernières en déterminent les prolongements. 11 est clair que si on prend une de ces droites pour l’axe des x' , l’autre sera celui des rj . N’oublions pas que l’origine n’a pas été changée, et qu’elle était située d’une manière quelconque : alors on pourra conclure qu’il existe, autour de chaque origine, un système d’axes rectangulaires propre à faire disparaître le rectangle x';/, ou à réduire l’équation du second ordre à la forme
[E] My's -J- Nj/* -f- Ry' 4- Sx' -f- F =0 ;
et en général il n’en existe qu’un seul.
ik
203. U faut cependant remarquer ici le cas où l’on a en môme temps B = 0 et A =C. Alors l’éq. [AJ peut s’écrire ainsi
et on voit qu’elle représente un cercle (n° 236). Exemple V. Alors aussi tang 2a est indéterminée, ou plutôt le coefficient K est nul de lui-même; et cela prouve qu’on peut prendre deux axes quelconques à angles droits, sans ramener dans l’équation le rectangle des coordonnées. Cette conclusion s’accorde avec le n° 186, où l’on voit que l’équation générale du cercle, rapportée à des axes rectangulaires, ne contient point le rectangle xy.
201. Selon que l’équation primitive [A] représente une ellipse, une hyperbole ou une parabole , la quantité B* — 1AC est négative, positive ou nulle. Or, la quantité analogue, tirée de l’éq. [E], est — IMiN ; donc les coefficients M et N doivent être de même signe dans le cas de lellipse, et de signe différent dans je cas de l’hyperbole. Dans le cas de la parabole, un de ces coefficients doit être nul : d’ailleurs, ils ne peuvent pas l’être tous deux : autrement l’éq. (EJ cesserait d’être du 2* degré.
RédacUon de l’équation générale.
265. Si on ne considère que les ellipses et les hyperboles, on peut faire disparaître d'abord les termes du premier degré , en déplaçant l’origine (260), et ensuite le rectangle des variables en choisissant de nouveaux axes rectangulaires, comme on vient de l’expliquer; ou bien, si on le préfère, on peut changer d’abord la direction des axes, et ensuite l’origine. Par cette double opération, l’équation de la courbe sera réduite à la forme
[Fl My* -J- Nx* = P,
en désignant par x et y les dernières coordonnées.
Dans le cas de l’ellipse, M et N sont de même signe; et en faisant N P
— »«’, jjj — />, l’équation peut s’écrire ainsi //’ -J- mïx1 — p.
Dans le cas de l’hyperbole, M est de signe contraire à N : Alors
on fait — = — »t*, — = p, et l’équation s’écrit ainsi ys — m'x1 — p.
266. Ces formes d’équations ne conviennent pas aux paraboles : car l’équation de ces courbes ne peut jamais perdre les deux termes du 1" degré (260). Mais on peut eu faire disparaître le rectangle, et même alors l’un des carrés disparait aussi (264). Supposons que ce soit x'* : l’équation des paraboles sera
[G] My + Ry' + Sx'-f F = 0.
Prenons de nouveaux axes, parallèles à ceux des x' et des y', et rapportons-y la courbe. Pour cela, on fera dans l’éq. [G]
il ne reparaîtra point de rectangle x"y", et nous introduirons ainsi deux indéterminées a et b, à l’aide desquelles on pourra faire disparaître deux nouveaux termes. La substitution donne
[H] My"! + Sx" + (2Mé + K) y" -f -j-Rè-fSa+F = 0,
équation dans laquelle la partie affectée de y ", et celle qui est indépendante des variables, sont les seules où entrent les indéterminées a et b. On fera disparaître ces deux parties en posant 2M6 + R = 0, M6s-j-Rô + Sa-|-F = 0, d’où . —R — M6’— Ré — F 4 = âP *= s
b n’est pas intini, car M n’est pas nul; et a n’est pas infini non plus, car il est permis de supposer que S n’est pas zéro. En effet, si S était zéro, l’équation [GJ ne contiendrait plus af, et, en la résolvant par rapport à y', on trouverait deux valeurs constantes; donc l’équation donnée ne représenterait plus une ligne courbe, et pour cette raison on rejette le cas particulier où S est nul.
Maintenant, il est clair qu’en plaçant l’origine au point qui a pour coordonnées les valeurs précédentes de a et b, la dernière transformée [H] se réduit à cette équation
[I] M/* + Sx"=0,
ou bien, en supprimant les accents et faisant — — = 2p, à
y* = 2jox,
qui est, sous la forme la plus simple, l’équation des paraboles.
267. En résumé, on conclut qu’en choisissant convenablement l’origine et la direction des axes, les ellipses, les hyperboles et les paraboles peuvent être représentées par les équations
[a] yi-\-m*xi — p, [6] y' — mtxt=p, [c] y*=2px; et que ces formes d’équations ne subsistent que pour un seul système d’axes rectangulaires (le cas du cercle excepté).
Du centre et des axes.
268. Ces équations mettent en évidence quelques propriétés qui méritent de fixer l’attention. D’abord, de ce que («] et [6] ne contiennent pas les termes du 1er degré, on conclut que l’origine est un centre. Mais il faut reprendre les choses de plus haut.
On appelle centre d’une courbe un point qui divise en deux parties égales toute droite qui passe par ce point , et qui est terminée à la courbe. De cette définition découle le théorème suivant :
Quand l’origine des coordonnées est placée au centre d’une ligne du second ordre, les termes du 1er degré n’entrent point dans l’équation de cette ligne; et réciproquement, lorsque les termes du 1" degré n’entrent pas dans l’équation d’une ligne du second ordre, l’origine est le centre de cette courbe.
Pour le démontrer, reprenons l’équation générale
[A] Ay*+Bxy + Cxî + Dÿ + Ea; + F = 0;
supposons que la courbe représentée par cette équation ait un centre, et que ce centre soit pris pour origine des coordonnées. Toute droite menée par ce point a pour équation y — ax; et, pour obtenir les abscisses des points de rencontre de la droite avec la courbe, il faut faire y = ax dans l’équation [A]. On a ainsi
( A«* + Ba + C) x* + (Da -|- E)x + F = 0,
équation dont les racines sont les abscisses cherchées. Or, MN (fig. 107) étant la partie de la droite comprise dans la courbe, on doit avoir AN = AM; donc si on mène les ordonnées MP, NQ, les triangles AMP, ANQ, seront égaux; donc AQ = AP: c’est-à-dire que l’équation qui donne ces abscisses a ses racines égales et de signes contraires ; donc on doit avoir Da -f- E = 0. Cette égalité doit exister quel que soit a ; donc on a séparément D = 0, E = 0 : donc les termes du l'r degré ne doivent pas entrer dans l’équation [A].
Réciproquement, lorsqu’on a D=0, E=0, l’équation qui donne x a ses deux racines égales et de signes contraires, d’où l’on conclut que les triangles APM, AQN, sont égaux, et par suite que toute corde MN, menée par l’origine, y est divisée en deux parties égales : c’est-à-dire que l’origine est un centre.
Pour qu’une courbe du second ordre ait un centre, il faut donc qu’on puisse transporter les axes, parallèlement à eux-mômes, à une origine qui fasse évanouir les termes du 1er degré; et alors cette origine sera le centre. Cette transformation est impossible pour les paraboles ; elle ne l’est que d’une seule manière pour les ellipses et les hyperboles (260); donc les ellipses et les hyperboles ont un centre qui est unique, mais les paraboles n’en ont pas.
269. Suivant la définition (227), un diamètre est une droite qui divise en parties égales une suite de cordes parallèles. De là il suit que si une des coordonnées, y, par exemple, n’entre qu’au carré dans l’équation d’une courbe du second ordre, l’axe auquel l’autre coordonnée x est parallèle est un diamètre. Il est visible, en effet, que , pour chaque abscisse , les valeurs de y seront égales et de signes contraires : donc l’axe des x divise en parties égales les cordes parallèles à la ligne des y ; donc il est un diamètre.
Quand un diamètre est perpendiculaire à la direction des cordes qu’il coupe par moitiés , c’est un axe de la courbe. La partie comprise dans la courbe est la longueur de cet axe. Les points où il la rencontre se nomment sommets.
La ligne sur laquelle se comptent les abscisses x, dans les équations [a], [6], [e], est donc un diamètre, et même un axe de la courbe. Pareillement, la ligne des y est aussi un axe de l’ellipse et de l’hyperbole données par les deux premières : mais elle n’en est pas un pour la parabole donnée par la troisième, parce que x y est au 1er degré. On verra plus tard que les axes dont nous parlons ici sont les seuls qui existent dans les courbes du second ordre.
Développement* des calculs qui mènent aux transformées [F] et [I].
270. L’objet de ce chapitre était .de découvrir la forme des équations les plus simples qui représentent les courbes du second ordre. Il était donc bien plus important de reconnaître la possibilité des transformations que de les effectuer; c’est pourquoi j’ai né-
gligé les détails de calcul qui m’auraient écarté du but vers lequel je tendais. Je vais réparer ici cette omission volontaire.
Supposons d’abord que l’équation
[A] Ay’ + Bxy + Cx’ + Dyff Ex + F = 0,
représente une ellipse ou une hyperbole , et développons les calculs nécessaires pour la réduire à la forme [F], My! -(- Na:5 = P, en prenant des axes rectangulaires. La question se résout en opérant , ainsi qu’on la dit (265) , deux transformations d’axes.
Première transformation (260). On fait disparaître les termes du 1" degré, ce qui revient à transporter l’origine au centre, et on obtient une transformée telle que
[Cl ' kif -f B xy + Cx* + F = 0.
Les coefficients A , B, C , sont les mômes que dans [A[ ; les coordonnées du centre sont déterminées par les équations
et on a
F' = A45 + B ab -f Ca5 -f D6 + Ea + F.
On peut simplifier cette valeur de F' : en effet , si on multiplie les éq. [I[ respectivement par 4 et par a, et qu’on ajoute, il vient
d’où
2A45 + 2B ab + 2C«5 + Dé + Ea =0 ,
A45 -j- Ba4 -f- Ca* = — — donc F = F+ -- .
En réunissant ici les valeurs de a et b (260) à celle de F, on aura les éléments de la première transformation . savoir :
