CHAPITRE X

Dü CERCLE.

Formes diverses de l’équation du cercle.

272. Dans l’équation [a], n° 267, supposons m= 1, p = R* : il vient

équation déjà trouvée n° 186, et qui exprime que, dans le cas particulier dont il s’agit, la courbe a tous ses points à une distance de l’origine, constante et égale à R; cette courbe est donc une circonférence de cercle. Par là on apprendrait, si on ne le savait déjà (238), que cette ligne est un cas particulier de l’ellipse.

273. L’équation la plus générale du cercle, tant que les coordonnées sont rectangulaires, est (186)

Elle redonne l’équation [1 ] en faisant a = 0, p = 0.

Si on veut placer l’origine à l’extrémité d’un diamètre et prendre ce diamètre pour axe des x (fig. 108), il faut faire a = R, (5 = 0 : l’éq. [2] devient (x — R)* -)- y1 = R5, ou, ce qui est la même chose,

[3] rf — 2Rx — x\

Si on fait seulement (J = 0, le centre sera sur l’axe des x (fig. 109), mais la circonférence ne passera plus à l’origine; et si on fait seulement a. — 0, le centre sera sur la ligne des y (fig. 110). Dans ces

deux positions, les équations du cercle seront

[4] y>-Hx-a)’ = R*,

274. En coordonnées obliques, l’équation du cercle est peu employée. On l’obtient immédiatement en exprimant que la distance du centre à un point quelconque de la courbe est égale au rayon. Cette distance est donnée par la formule du n° 220, de sorte que, si on-désigne par 0 l’angle des axes , par a et p les coordonnées du centre du cercle, et par r le rayon, on aura

[6] ( x — «)* -f [y — P)* + 2 ix — «) (ÿ— P) COS 0 = r*.

275. L’équation [2] étant développée, en donne une de la forme x1 -f y* -\-ax-\- by e = 0 , qui ne contient point xy, et où les coefficients des carrés x ! et y * sont égaux. Quand ces conditions sont remplies (les axes étant toujours rectangulaires), l’équation ne peut pas représenter d’autre courbe qu’une circonférence. En effet, après l’avoir divisée par le coefficient de y’, si ce coefficient n’est pas déjà égal à l’unité, on lui donne la forme précédente; puis, en complétant les carrés, on lui donne celle-ci

Or, cette équation représente évidemment un cercle, dont le centre a pour coordonnées — {a, — j b, et dont le rayon est égal à j- jt* — c. Toutefois, cette équation ne représente véritablement un cercle que lorsque la quantité -ja’-j- — c est posi-

tive : car, si elle est nulle, le cercle se réduit à son centre, et si elle est négative, l’équation est impossible. Ces détails ont déjà été donnés n° 256, Exemple V.

276. Étant donnée une équation du second degré , entre coordonnées obliques dont l’inclinaison est connue, on peut demander comment on jugera qu’elle représente un cercle. Pour répondre à cette question, on développe l’équation [6], et on l’écrit ainsi :

x'-\-ytJT %xy cos 0 — 2 (a -j- § cos 0) x — 2(P-[-a cos 0)y -J- a* -j- p1 -|- 2ajî COS 6 — r’ = 0.

Alors on voit sur-le-champ qu’après avoir divisé l’équation proposée par le coefficient de y*, il faut que celui de x * soit égal à un, et celui de xy égal au double du cosinus de l’angle des axes.

Je dis de plus que toute équation qui remplit ces conditions ne

peut pas représenter d’autre ligne qu’une circonférence. En effet, supposons que cette équation soit

[7] + y5 + 2xy cos § ax*{- by -{-c = Q,

et, afin de la rendre identique avec celle du cercle, posons

a-|-pcosO=: — p-j-acos8 = — a!-f- P*-j-2apcos6 — r*=c. 2 2

De ces égalités on tire

icos 0 — a 2sin’0 ’

a co s 8 — b :2sins6 ’

-\-b- — 2«6cos6 4sin*6

donc ces valeurs étant mises à la place des a, fi, r, rendront l’équation [6] identique avec l’équation [7] ; donc cette dernière ne peut pas représenter d’autre ligne qu’une circonférence, dont le centre et le rayon seront donnés par les formules ci-dessus.

Pour construire le centre, il n’est pas nécessaire de calculer a et p. Soit O ce centre (fig 111) dont les coordonnées sont AB = OC = aet AC = OB— p: abaissez OD perpendiculaire à Ax, et OE perpendiculaire à Ay. Les triangles rectangles BOD, COE donnent BD = pcos8 , CE = acos8; donc AD = a -f- p cos6 = — La, AE = p + acos8 = — {b. Ainsi, en prenant avec des signes contraires, dans l’équation [7], les moitiés des coefficients de x et de y, on aura les longueurs AD et AE; et par suite, en élevant les perpendiculaires DO et EO, on connaîtra le centre 0.

Si la valeur de r est nulle, l’équation [6] exprimant que le carré d’une distance entre deux points est égal à zéro, on en conclut que le cercle se réduit à son centre. Si r est imaginaire, l'équation est impossible. On peut encore rendre ces conséquences évidentes en écrivant l’équation [6] d’abord sous cette forme

[(x — a)* + (y — P)’] (cos’L 8 + sin’LO)

-J- 2 (as — a) [y — P) (cos’£8 — sin’^8 ) = r! ; puis, sous la suivante :

[{x — - «) + [y — P)]’ cos’L 8 + [(x— «) — {y — P)]! sin*’ 6 = r\

Comme le premier membre est la somme de deux carrés, on voit que si r es imaginaire l’équation est impossible ; et si r est zéro, elle ne peut être satisfaite qu’en égalant chaque carré à zéro, ce qui conduit à x = a, y — p.

Théorèmes relatifs au cercle.

277. Je vais faire voir ici comment on peut démontrer par le calcul les théorèmes sur le cercle, établis dans la Géométrie.

- Reprenons l’équation du cercle

Elle donne y=±v Rs — x1 ; donc il y a (fig. 112) deux ordonnées égales et opposées, MP et PN, pour chaque abscisse AP. Or, MN étant perpendiculaire à AB, si on applique la partie inférieure du cercle sur la partie supérieure, en la faisant tourner autour du diamètre BC, le point N tombera sur le point M ; et pareillement, tous les autres points de la partie BNG se placeront sur la partie supérieure BMC. De là on conclut 1° Que tout diamètre divise le cercle et la circonférence en deux parties égales;

2* Que le diamètre, perpendiculaire à une corde, divise aussi cette corde et l’arc sous-tendu, chacun en deux parties égales.

278. Sur la figure on voit que CP = R -f- x etBP = R — x\ donc

CP X BP = (R + x) (R — x)~ R*— x\

Mais par l’équation du cercle, on a MP’ = R1 — donc MP" = CP X BP. Donc, l’ordonnée perpendiculaire au diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segments de ce diamètre.

279. Si on mène la corde CM, et qu’on désigne par x et y les coordonnées du point M, on aura

CM* = if -f (x + R)’ = if + **+ 2Rx + R*.

Or, l’équation du cercle donne x*-}- y1— R1; donc CM* — 2R! + 2Rx =2R (R + x).

Mais on a BC = 2R, CP = R + x ; donc CM* = BC X CP : c’est-àdire que la corde CM est moyenne proportionnelle entre le diamètre BC et le segment CP.

280. Si, par le point C pour lequel y=0 etx = — R, et par le point M dont nous continuerons de désigner les coordonnées par x et y, on mène une droite CM, et qu’on représente par a la tangente de l’angle MGx, on aura

Si, par le même point M, et par le point B pour lequel y — 0 et x = + R, on mène la droite MB, et qu’on représente par a' la tangente de l’angle Mlîx, on aura pareillement

En multipliant a par a' et remarquant que y* = R* — x *, il vient

donc aa'-f- 1 = 0 ; donc (221) les droites CM et MB sont perpendiculaires l’une sur l’autre, ou, en d’autres termes , tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

281. En général, les angles inscrits dans un même segment sont égaux. Pour le prouver, je prends pour axe des x (fig. 113) la corde DE qui sous-tend le segment, et pour axe des y le diamètre perpendiculaire; alors le cercle sera donné par l’éq. [5] du n°273; en désignant par p l’élévation du centre au-dessus de DE et par c la demi-corde AD, l’équation du cercle sera

Si on joint un point quelconque M de l’arc DME avec les points E et D, et si on nomme encore x, y, les coordonnées du point M, et a , a!, les tangentes des angles ME# , MDx , il est facile de voir qu’on aura

a=JL,

Mais tang DME = — —, (221); remplaçons donc a et a' par leurs