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valeurs , et il viendra

tang DME æ,c»j ÿî **e* + y*'

Comme le point M appartient au cercle, on a, entre x et y, (y-p)*+*’=c* + p *:

de là on tire xî — c* -f- y* = ‘

- Ofîii • nt

tangDME = |.

Cette valeur est constante , c’est-à-dire qu’elle ne varie pas quand

le point M change de position sur la circonférence. De plus , le triangle rectangle AOD donne

langA°D = ^ = îj;

donc tous les angles inscrits dans un même segment de cercle sont égaux à la moitié de l’angle au centre , gui s’appuie sur le même arc que le segment.

282. Démontions maintenant les théorèmes relatifs aux lignes droites qui se coupent dans le cercle, et ;hors du cercle. Soit A (fig. H 4) un point quelconque, pris dans le plan d’un cercle. Ayant mené Ax par le point A et par le centre 0, puis A y perpendiculaire sur Ax, prenons les abscisses et les ordonnées sur ces deux lignes. En désignant le rayon par R , et la distance AO par a, l’équation du cercle sera (273)

L’équation d’une droite quelconque , passant par le point A , sera de la forme

y=Ôx;

et si on veut avoir l’équation qui donne les abscisses des points M et N, où cette droite rencontre le cercle, il faut mettre cette valeur de y dans l’équation du cercle, ce qui donne

ou, en effectuant le carré, transposant R*, et divisant ensuite par le coefficient de x»,

Nommons x', y', et x", y" les coordonnées des points de rencontre, on aura

AM* = x'* + y», AN* = x"» + ÿ’% ; or, ces points étant sur la droite, on a

y' = 8x', y" = Sx";

donc AM =(l + 8*)x'1, AN* = (4 + 8*) x"*; et par suite,

ÂM* x AN* = (1 + 8«) W\

Maintenant, remarquons que x' et x” sont les deux racines de l’équation [«], et que dans toute équation du second degré le pro-

duit des racines est égal au dernier terme : nous conclurons que

afx" — ^ , et par suite que

ÂM* X ÂN* = (a* — R*)*.

De là , suivant que a est > R ou < R , on tire

AM X AN = a* — R% ou AM X AN = R1 — a*.

Dans le premier cas, le point est extérieur au cercle, et dans le second il est intérieur. Mais , ni dans l’un , ni dans l’autre , le produit AMxAN ne contient o; et cela prouve qu’il reste le même, quelle que soit la position de la sécante : donc, si on mène une seconde sécante qui coupe le cercle en M' et N', on aura