cosa=2cos* £ [21], 1 — cosa=2sin

formules au moyen desquelles on pourra calculer le sinus et le cosinus de la moitié1 d’un arc en fonction du cosinus de sa moitié.

34. Combinons les équations [1 3] et [1 5] successivement par addition et par soustraction, et nous trouverons

sin(a-|-6)-j-sin(a — .4)=2sina cos4 [23], sin(a-|-4) — sin ( a~ — b) =2sin4 cos a [24].

Ces formules nous montrent 1 0 que la somme des sinus de deux arcs est égale au double produit du sinus de la demisomme de ces arcs par te cosinus de leur demi-différence ; car a est la demi-somme des arcs (a-j-4) et (a — b ), et b est leur demi-différence; 2° que la différence des sinus de deux arcs est égale au double produit du sinus de la demidifférence de ces arcs par le cosinus de leur demi-somme.

35. En opérant sur les formules [1 4] et [1 6] comme nous venons de le faire sur [13] et sur [15], on trouvera

cos(a-[-4)-(-cos(rt — U)— 2cosa cos 4 [25],

cos (a -[- b) — cos (a — b) =— 2 sin a si n b [26] .

Ces formules, que l’on fera bien de traduire en langage ordinaire, donnent, ainsi que les formules [23] et [24], le moyen de transformer en un produit de deux facteurs la somme ou la différence des cosinus ou des sinus de deux arcs , et par conséquent de calculer cette somme ou cette différence par logarithmes.

36. Si l’on multiplie membre à membre les équations [23] et [24], on obtiendra l’équation suivante :

sin’(a-j-4)— sin*(a — 4)=sin2asin24 [27] ;

car

2sinacos£.2sin£'Cosa=2sinacosa.2sin&cosfc=sin2asin2£>. Ainsi la différence des carrés des sinus de deux arcs est égale au produit du sinus de la somme de ces arcs par le sinus île leur différence.

On tirera de même des équations [25] et [26] la suivante : cos’(a-f-Z>) — cos*(a — b)= — sin2« sin26 [28]. Au moyen de ces formules [27] et [28], on pourra encore calculer par logarithmes la différence des carrés des sinus ou des cosinus des deux arcs. Si ces arcs étaient, par exemple, de 1 20° et de 30°, on aurait

sinM 20° — sin!30°=sin 1 50°sin 90° s= sin 30°= 5.