CD . A'B' = CA' . DB' CB'. DA

d’où , en divisant par 4,

sin (a-f- 4)= sin a cos b sin b cos a ;

car DB'=20Q=2cos4 et DA'=20P = 2cosa.

Pour avoir le cosinus de l’arc(«-j-4), je tire le diamètre A'E et je joins B'E :t cette droite sera le double de cos (a -f- 4); car, à cause du triangle rectangle A'B'E , on a

B 'È—Jü — 4sin!(a-j-4j= 2 cos (ci-\-b). *"■

FONCTIONS ClHCULAlHfcS.

Je tire DE, et le quadrilatère inscrit CDEB', donne CD. B'E =DB'. CE— CB'. DE , d’où , en divisant par 4,

cos(«-(-4) =cos a cos b — sin« sinô.

(La figure CADE est un rectangle.)

2' Démonsthatiopî. Soient CA=« et AB— b, deux arcs Fig. s. dont je suppose la somme CB moindre qu’un quadran , je joins OA et je tire BE perpendiculairement à cette droite ; puis des points A et B j’abaisse sur OC les perpendiculaires AD et BF : on aura évidemment

AD=sinn, OD=cosn, BE=sinô, OE=cosô,

BF =sin(a-j-4), OF=cos(a-[-4).

Cela posé, je mène par le point E les droites EC et El parallèlement à AD et à OC; il en résulte

sin(a+4)=EG+BI et cos(n-f 4)=^OG— El,

de sorte qu’il s’agit de calculer ces quatre lignes EG, BI , OG et El en fonction des sinus et des cosinus des arcs a et b. Or, les triangles semblables OAD et OEG donnent

od t og : : oa : oe : : ad : eg,

ou cosa;OG:î \ :cosÆ;:-sina;EG.

On tire de là

OG=cosacosô et EG=sinacos4.

Les triangles OAD et BEI étant aussi semblables , puisque leurs côtés sont perpendiculaires chacun à chacun , on aura pareillement

od:bi::oa: be :: ad:ei,

ou cosct : BI : : 1 : sin b : : sin a \ El ,

d’où BI=sinôcosa et EI=sina sin 4.

En remplaçant, dans les valeurs de sin («-{-4) et de cos(«— f-ô), EG, BI, OG et El par les valeurs que nous venons de trouver, il viendra

sin(a-j-/!>)=sin« cos4-{-sinô cosrt [13], cos(o-|-4)=cosa cosô — sina sinô [14].

Ces formules nous apprennent :

Que le sinus de la somme de deux arcs est égal à la

somme des produits f/ue l'on obtient, en multipliant le sinus de chacun a eux par le cosinus de t autre;

2° Que le cosinus de la somme de deux arcs est égal au produit des cosinus de ces arcs diminué du produit de leurs sinus.

30. Pour prouver que les formules [13] et [14] sont générales, il suffira de faire voir qu’elles sont vraies dans les trois cas qui suivent :

1 er Cas. Les arcs a et b étant tous deux positifs et moindres qu'un quadran, leur somme (a -(-b) surpasse 90°.

Soient d et U les compléments respectifs de a et de b , leur somme (d-\-U) sera le supplément de (a -\-b) et , par conséquent, sera moindre qu'un quadran; donc on aura (page 8)

sin (a -f- Æ) = sin (d-^-M) = sin d cosU -}- sin U cos d =cos a sin4-j-cos4sin«;

cos (rt b) — — cos (d-\-l/)=— cos d cos #-|-sinfl'sin#~

= — sinasin£-|-cosacos£>.

Donc les formules [13] et [14] conviennent au cas où chacun des arcs positifs a et b étant plus petit que 90°, leur somme surpasse un quadran. Ainsi elles sont vraies pour toutes les valeurs positives de a et de b moindres que 90°.

2* Cas. a et b sont deux arcs positifs quelconques .

Si nous prouvons que les formules [1 3] et [1 4] étant vraies

fjour deux arcs positifs quelconques, elles le seront encore orsqu’on augmentera l’un de ces arcs de 90°, on devra conclure que puisqu’elles s’appliquent à deux arcs d et U moindres qu’un quadran (1 " cas), elles conviendront de même aux arcs a et b formés en ajoutant un certain nombre de quadrans aux arcs d et U.

Supposons donc que d et b soient deux arcs tels que l’on ait sin («'-[-£) = sin a* cos Æ-|-sin4 cos d, cos (d -f- b')— cos d cos b — sin a' sin U : je pose rt=90°-f“a,> et il en résulte

sin(a -\-b)= sin (90° -f- d-\- b)=cos(d-\-b) , cos (a -)-4)r= cos (90° -j- d-\- b) = — sin(«'-}-6); on aura en conséquence

sin(a-J-4)= cosdcosb — sin a' sin é; cos(a-[-4)— — -sina/cosA — cosa^ sinÆ.

Mais , parce que rtr^QO0-)-^, sin a=cosd et cos a=— sin d ; remplaçant donc cos a' par sin a et • — sin d par cos a, il viendra enfin

sin(a-|-4) = sin« cos4-|-sin4cosa, cos(« -j- b) — cos a cos b — sin a sin b.

Les formules [13] et [14] conviennent donc à des arcs positifs quelconques.

3° Cas. a et b sont deux arcs quelconques positifs ou négatifs.

On pourra toujours trouver deux nombres entiers et positifs n et d assez grands pour que les arcs 2/i--j-a et 2n'it-\-b soient positifs, de sorte que l’on appliquera les formules [13] et [14] aux développements du sinus et du cosinus de la somme de ces deux arcs; d’un autre côté, il est évident que sin(2m:-|-a-|-2rt,,!ï-[-4) = sin(«-|-4) et que cos(2«r-|-fl-|-2rt'r-[-4)=cos (a-J-4); donc on aura

sin (n-\-b) — sin ((2/w -j- n) -j- (â/i'it -j~ b)\ = sin (in-r. -j- a) cos (2n'ir -(- b) -(- sin (2 n k -j- i)cos(2«'it -j- a) — sin a cos b -j- sin b cos a ,

cos(n -f- b) = cos j (2/jît -(- a) -|~ (2«'ir -J- b) j = cos (2/îîe -f- a) cos (2/j'tc -)- b) — sin (2/iic -j-«)sin(2//'w-f-^) =cos a cos b — sin a sin b.

31. Les formules [13] et [14] étant ainsi démontrées, quels que soient les grandeurs et les signes des arcs a et b, on peut y changer b en — b , et les formules résultantes

sin (a — è)=sina cos b — sin4 cos« [1 5],

cos(« — b)=cosa cosô-{-sina sin4 f 1 6],

auront le même degré de généralité.

Ces deux dernières formules serviront à calculer le sinus et le cosinus de la différence entre deux arcs quelconques. On aurait pu les obtenir par une construction géométrique analogue à celle qui a conduit aux formules [1 3] et [1 4].

32. Si dans ces formules [13] et [14] on suppose a — b, elles deviendront

sin2rt=2sin«cos« [1 7] ; cos2a=cos’« — sin’a [18],

et au moyen de celles-ci , on pourra calculer le sinus et le cosinus du double d'un arc en fonction du sinus et du cosinus de cet arc.

Fig. 4 et 6.

22 trigonométrie.

53. Je change, clans ces dernières formules, a en ^ «, et je combine la seconde des équations résultantes

sin a =2sin5Cos5 [19], cosa = cos*^ — . sin*^ [20],

avec l’équation 1 = cos* ^ -j- sin* | par voie d’addition et de

soustraction : il vient