ELLIPSE. — CORDES SUPPLÉMENTAIRES

t ellipse est égal à moins le carre du rapport du petit axe ’ au grand.

Réciproquement, toutes les fois que cette condition sera remplie pour deux cordes issues des extrémités d’un diamètre ou aboutissant à un même point de l’ellipse, on sera certain qu elles sont supplémentaires, c’est-à-dire que, dans le premier cas, elles iront concourir sur la courbe, et que, dans le second, le centre et les points où elles coupent l’ellipse seront en ligne droite. Cette réciproque se démontre facilement par la réduction à l’absurde : ainsi nous ne nous y arrêterons pas.

Si a=.l>r la relation [2] devient • *

tanga tanga'=— 1,

ce qui prouve que tout angle inscrit dans une demi-circonférence de cercle est droit.

2415. De ce que la relation [2] est indépendante de la position du diamètre par les extrémités duquel on a tiré les cordes supplémentaires, il suit que, par les extrémités ttun diamètre quelconque , on peut toujours mener deux cordes supplémentaires parallèles à celles qui correspondent à tout autre diamètre ; car, si l’on appelle (3 et p les angles que font avec le grand axe deux cordes supplémentaires qui partent des extrémités de ce grand axe, par exemple, on aura

tangjü tangfj'=tanga tanga'.

Si donc fl=a, c’est-à-dire si une corde du second système est parallèle à une corde du premier, on aura

tang(3'= tanga', d’où Jü'=a',

de sorte que les deux autres cordes seront aussi parallèles. v

246. L’angle que forment deux cordes supplémentaires est évidemment une quantité variable, sans quoi l’arc d’ellipse sous-tendu par le diamètre correspondant serait un arc de circonférence; d’ailleurs, s’il en était ainsi , en appelant 9 cet angle constant, on aurait a! — a=Q, et cette équation jointe à [2] déterminerait les angles a et a', tandis que ce sont des quantités variables. Pour suçoir si cet angle 6 peut prendre toutes les valeurs possibles , nous supposerons que les deux cordes supplémentaires partent des sommets du

88, grand axe, ce qui n’altérera pas la généralité des résultats, d’après ce qui précède (24o), et en appelant (x, y') les coordonnées de leur point de concours, nous aurons

tanga= tanga = —q~-, et par conséquent

tang 0=tang(« — al)

TT r*

Or, le point (xtÿ) appartenant à l’ellipse, on a

ay,-}-Mr,=aY>*, d’où a? — >ct=

et, par suite,

tangÔ=

(a*— 6*lr'

pétant positif et a^>b, on voit que tang 9 <0; mais il semble que si y était négatif, tangÔ serait positif, ce qui ne peut évidemment pas avoir lieu; or, l’angle AM' A' est égal à (a/ — a,), de sorte que le second membre de l’équation précédente déterminant tang(a — a'), il faut changer son signe pour avoir la valeur de tang(a'1 — a,). L’angle Ô est donc obtus*, à moins que y ne soit nul, auquel cas on a tang6 = oo , et partant 0 = 90°. Ainsi, au sommet A ou A' l’angle des cordes supplémentaires est droit, et, en effet, le point M descendant vers A, la corde interceptée par l’ellipse sur la sécante AM diminue, êt devient nulle quand ce point arrive en A; donc alors cette sécante est tangente à l’ellipse en ce point, et est, par conséquent , perpendiculaire à l’axe AA' (189, 2“). Le point M s’élevant, au contraire, sur la courbe, son ordonnée y augmente, et ainsi la valeur absolue de tang0;diminue; donc cette valeur absolue de tang 9 sera minimum quand y atteindra son maximum , c’est-à-dire quand y sera égale à b\ mais un angle obtus est d’autant plus grand que la valeur absolue de sa tangente est plus petite; donc le maximum de l’angle formé par deux cordes supplémentaires est ABA', et, par conséquent, l’angle BAB' supplémentaire de

* L’ellipse étant enveloppée par la circonférence décrite sur son grand axe , comme diamètre , tout angle inscrit dans la demi-ellipse ABA' ou AB' A' est nécessairement obtus.