ELLIPSE. — CORDES SUPPLÉMENTAIRES

ABA' est la valeur minimum de cet angle. Les angles du parallélogramme forme en joignant les quatre sommets de t ellipse sont donc les limites de l'angle de deux cordes supplémentaires, et ces angles sont donnés par la formule

tangO=± [3], (l’où ““8—5^ O]-

247. Remarquons que les cordes supplémentaires qui forment ces angles-limites sont parallèles aux diagonales du rectangle CDEF construit sur les deux axes. j

2453. Le système des équations

tang9 =p^J at, ou yt-\-x‘—‘^y—a' = 0 [5]*

et a'y'-f-b'u? — a'if— 0 [1],

(A représente tangô) donne le moyen de trouver deux cordes supplémentaires qui fassent entre elles un angle donné b, puisqu’en les résolvant, on obtiendra les coordonnées du point de concours de ces cordes. Mais, si l’on veut résoudre ce problème géométriquement, il n’y aura qu’à tracer les lieux de ces équations, et leurs points d’intersection seront ceux où les cordes viennent se croiser. Or, la seconde est toute construite : c’est l’ellipse proposée; quant à la première, on reconnaît immédiatement qu’elle représente une circonférence, puisque lereetangle des variables n’entre pas dans son équation, et que les coefficients des carrés de ces mêmes variables sont égaux; on voit ensuite que l’aXe desj'est un diamètre; car, pour

une même valeur de^r, l’équation p y — '«* = 0

donne deux valeurs de x égales et de signes contraires. Ainsi, le centre est situé sur l’axe des^K, et son ordonnée est la demi- . somme des ordonnées des points où cet axe est coupé par cette circonférence, c’est-à-dire la demi-somme des racines de l’équation

y — • ~kj — « =0,

obtenue en faisant æ=0 dans l’équation du cercle; donc

cette ordonnée est donc elle est égale au côté de l’angle

droit d’un triangle rectangle dont l’angle adjacent est 6 , ou 180° — 6, selon que l’angle donné 6 est aigu ou obtus, et

Fig. 89. dont l’autre côté est a. Nous ferons donc au point A l’angle A'AT=0 , nous élèverons sur AT la perpendiculaire AO', et O’ sera le centre du cercle; car

00'=atangOAO'=«cotTAX= — —=y.

b tang(180° — 0) k

Mais ce cercle doit, d’après son équation, passer par les points A et A'; ainsi on l’obtiendra en décrivant une circonférence du centre O' et avec O'A pour rayon. Joignant ensuite les points M et M' où il coupe l’ellipse avec les points A et A', on formera deux systèmes de cordes supplémentaires qui feront entre elles l’angle donné 0.

La partie de notre cercle qui est située au-dessus de l’axe AA' est le segment capable de l’angle 0 , comme on aurait pu le prévoir par des considérations géométriques.

Il sera bien de discuter ce problème, en cherchant les conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations [J] et [5] aient quatre , trois ou deux solutions réelles.

§ III. Des diamètres conjugués.

Kig. do. 249. Soient AM et A'M deux cordes supplémentaires quelconques : si par le centre O on tire le diamètre C C parallèle à A'M, il coupera les deux côtés A'A et MA du triangle A'AM en parties proportionnelles, et passera, par conséquent , par le milieu de MA; il a donc deux points communs avec le diamètre qui divise ên deux parties égales toutes les cordes parallèles à AM; donc il est ce diamètre lui-même. Par la même raison le diamètre DIT parallèle à AM est aussi le lieu des milieux des cordes parallèles à A'M; donc CC et DIT sont conjugués (195); donc

Deux diamètres parallèles à deux cordes supplémentaires sont conjugués. • ; >■

La réciproque est vraie, c’est-à-dire qu’ora peut toujours mener deux cordes supplémentaires qui soient parallèles à deux ilia mètres conjugués donnés. Soient, en effet, CO et DIT deux diamètres conjugués : tirons un diamètre quelconque AA', par une de ses extrémités la corde A'M parallèle à CC', et joignons MA; cette droite MA sera parallèle à DIT; car le diamètre DIT, qui est le conjugué de CC, divise en deux parties égales la corde MA' parallèle à CC, donc il coupe les

cotés MA' et A'A du triangle AMA' en parties proportionnelles; donc il est parallèle au troisième coté MA de ce triangle.

Donc, pour (jue deux diamètres soient conjugués , il faut et il suffit qu’ils soient parallèles à deux cordes supplémentaires, ou, en d’autres ternies, que le produit des tangentes des angles qu’ils font avec le grand axe soit égal

230. Cette condition analytique résulte de la formule [8] du n° 219, car, si l’on veut appliquer cette formule à l’équation de l’ellipse rapportée à ses axes, il faudra y faire À=a’, B=0, C=lf, et alors elle deviendra

a* tanga tango/ — j— ^* = 0, d’où tang«tang«'= —

On arrive encore au même résultat par la théorie que nous avons exposée au n° 193, puisque la formule [7] est identique avec la formule [8] du n° 219.

On pourra se proposer pour exercice d’appliquer les méthodes des n“ 193 et 219 à l’équation

de l’ellipse rapportée à ses axes principaux.