De la condition tanga tanga' = — on conclut

qu’/V n’y a pas dans t ellipse il autre système de diamètres conjugués rectangulaires que celui de ses axes ; car il est clair que, si des deux quantités tanga et tanga' l’une n’est pas nulle et l’autre infinie , il est impossible que la condition

a* tanga tanga'

soit vérifiée en même temps que la condition tanga tanga' -f- 1 =0

qui exprime que les deux diamètres conjugués sont rectangulaires; tandis que si a— b, ces deux conditions ont toujours lieu simultanément. Donc le cercle n’a que des diamètres conjugués rectangulaires.

232 . Problème. Une ellipse et un de ses diamètres CC étant donnés, trouver le conjugué de ce diamètre.

Parle milieu O de CC, tirez une droite quelconque AA'; par une des extrémités de ce nouveau diamètre, tracez une corde A'M parallèle à CG'; joignez MA et menez le diamètre D1Y parallèle à MA. DD1 sera le conjugué de CC/.

2o3. Problème. Une ellipse étant tracée, trouver dent diamètres conjugués qui fassent entre eux un angle donné 0.

Solution. Puisque deux diamètres sont conjugués lorsqu’ils sont parallèles à deux cordes supplémentaires, la question revient à trouver deux cordes supplémentaires qui comprennent entre elles l’angle donné 0, et à mener ensuite deux diamètres parallèles à ces cordes.

En conséquence, on tirera deux cordes parallèles quelconques; on mènera une ligne droite par leurs milieux, ce qui donnera un diamètre AA', sur lequel on décrira un segment de cercle capable de l’angle donné 0; puis on joindra le point M où l’arc de cercle coupe l’ellipse aux extrémités de ce diamètre, et en menant par le centre deux parallèles aux cordes AM et A'M, on aura une solution du problème.

Discussion. Les équations de l’ellipse et du cercle auquel appartient le segment, étant du deuxième degré, ne peuvent pas admettre plus de quatre couples de valeurs de x et de^;*, de sorte que le cercle ne saurait couper l’ellipse en plus de quatre points; et comme deux de ces points sont A et A', il * ne peut y avoir que deux intersections qui fournissent chacune un système de cdMes supplémentaires faisant entre elles l’angle 0. Ces deux intersections auront lieu si l’angle 0 est compris entre les deux limites L et / de l’angle des cordes supplémentaires ; car la symétrie de l’ellipse par rapport à ses axes prouve que, dans ce cas, on peut mener par les extrémités du grand axe deux systèmes de cordes supplémentaires qui se croisent sous le même angle, et nous avons vu qu’il est toujours possible de tirer par l’une des extrémités d’un diamètre quelconque deux cordes supplémentaires qui soient parallèles à celles qui partent des extrémités de tout autre diamètre.

11 suit de là que, si l’angle 0 est compris entre L et l, le

[jroblème aura, en général, deux solutions, lors même que es deux points d’intersection du cercle et de l’ellipse seraient de part et d’autre du diamètre AA'; car l’angle AM'A' est à

la vérité supplémentaire de 0, mais les diamètres parallèles aux côtés de cet angle forment deux angles dont l’un est égal au supplément de AM' A', c’est-à-dire à 6. Ce,s deux systèmes de diamètres conjugués seront situés symétriquement à l’égard des axes.

Si Ô est égal à L ou à / , il ne peut plus y avoir qu’un seul système de cordes supplémentaires qui se croisent sous cet angle; et il faut, par conséquent, que les deux points M et M' viennent se confondre, et qu’ainsi le cercle soit tangent à l’ellipse. Les cordes supplémentaires étant alors parallèles aux diagonales du rectangle construit sur les axes (247), c’est suivant ces diagonales que sont dirigés les diamètres demandés. Ils sont donc égaux, ce qui s’accorde avec ce que nous avons dit au n° 22(».

Si 6 est </ ou >L, il n’y a point de cordes supplémentaires qui forment l’angle 0, de sorte que le cercle ne rencontrera l’ellipse qu’aux points A et A', et le problème sera impossible.

Nous venons de dire que si 0 = L ou /, les points M et M1 se confondront , parce qu’il n’y a plus alors qu’un seul système de cordes supplémentaires qui se croisent sous l’angle 0 : on pourrait croire qu’il n’y en aurait aussi qu’un seul, si l’un de ces points, M', par exemple, venait à coïncider avec A. Ce serait une erreur; car alors la tangente menée en A au cercle est la corde supplémentaire de AA', puisqu’elle est aussi tangente à l’ellipse, et qu elle fait avec AA' un angle égal à 0. Il y aurait donc alors deux systèmes de cordes supplémentaires se coupant sous l’angle 0.

Mais, si l’angle 0 étant toujours égal à L ou à /, le diamètre AA' était une des diagonales du rectangle construit sur les axes de l’ellipse, c’est-à-dire coupait ses cordes sous cet angle L ou /, les deux points M et M' coïncideraient avefc A ou A', de soute que le cercle couperait l’ellipse en trois points réunis en un seul. En effet, la tangente menée en ce point étant parallèle aux cordes conjuguées du diamètre AA' (1119, 2°), fait avec ce diamètre l’angle L; donc elle est la corde supplémentaire de AA', et comme il ne peut y avoir qu’un seul système de cordes qui fassent un angle égal à L, il faut nécessairement que les points M et M' soient confondus avec A. On dit alors que la circonférence et VeU

lipse ont un contact du second ordre ; elles sont à la fois sécantes et tangentes : sécantes, puisqu’elles se croisent, et tangentes, car elles sont touchées au point A par la même droite.

254. Nous avons dit que quand l’angle 0 était compris entre les limites L et/, le problème admettait, en général, deux solutions: c’est que, si* le quadrilatère MA Arrêtait un parallélogramme, il n’y aurait qu’un seul système de diamètres conjugués faisant l’angle 6. Or, les angles M et M' étant alors égaux et supplémentaires seraient droits : il faut donc examiner si le quadrilatère MAM'A' peut être un rectangle, lorsque l’angle 6 est droit. Dans ce cas, le cercle est concentrique à l’ellipse, de sorte qu’en prolongeant la droite MO d’une quantité égale à elle-même, son extrémité devra appartenir à la fois à l’ellipse et à la circonférence; donc M' est cette extrémité; donc le quadrilatère MAM'A' est un rectangle ; donc il ne peut y avoir qu'un seul système de diamètres conjugués rectangulaires, c'est celui des axes principaux (221 et 2 5 1 ).

Pour trouver les cures principaux d’une ellipse, on décrira une demi-circonférence sur f un quelconque de ses diamètres, on joindra le point où il coupe la courbe aux extrémités de ce diamètre, et il ne s’agira plus que de mener par le centre des parallèles à ces cordes.

255. Nous avons prouvé au n" 226 que l’ellipse avait des diamètres conjugués égaux , et la discussion du problème précédent nous l’a confirmé : toutefois on peut démontrer l’existence de ces diamètres, et les déterminer par une considération géométrique qui est trop simple pour la passer sous silence.

Concevons, en effet, que deux diamètres conjugués soient d’abord confondus avec les axes principaux : l’un deux sera alors égal à 2 a et l’autre à ‘Ib. Cela posé, faisons-les tourner autour du centre de manière qu’ils soient toujours conjugués; le premier décroîtra d’une manière continue depuis 2 a jusqu’à 2b, tandis que l’autre croîtra en même temps et de la même manière depuis 2 b jusqu’à 2 a. Donc il y aura eu un instant, et un seul, où nos deux diamètres conjugués se seront trouvés égaux; mais, à cause de la symétrie de l’ellipse par rapport à ses axes, ils étaient alors également inclinés sur ces axes, et, par conséquent, parallèles aux cordes supplé-

mentaires qui joignent les extrémités du petit axe avec celles du grand; donc il y a dans l’ellipse des diamètres conjugués égaux, lesquels sont dirigés suivant les diagonales du rectangle construit sur les axes (247).

236. Si nous convenons de désigner par 2 a et par 2b les longueurs des axes d’une ellipse, et par 2d et par 2U celles de deux diamètres conjugués quelconques, nous aurons entre les longueurs de deux diamètres conjugués, leurs inclinaisons a et al sur le grand axe de l’ellipse, l’angle 0 qu’ils forment entre eux et les longueurs des axes (227 et 249), les quatre équations suivantes :

d>-\-Ui=a'-\-tf, db' suvb=-ab,

, is ,

tanga tanga = — a' — a=0,

de sorte que l’on pourra résoudre, par leur moyen, tous les problèmes dans lesquels on se proposera de déterminer quatre des sept quantités a, b , d, U, a, a' et 8, lorsque l’on connaîtra trois d’entre elles, pourvu toutefois que les données ne soient pas les trois angles a, a' et 0. Ainsi, par exemple, si l’on voulait trouver deux diamètres conjugues qui fissent entre eux un angle donne, connaissant les axes, oii tirerait facilement les valeurs de a' et de U des deux premières équations, puis, en éliminant J entre les deux dernières, on aurait une équation du second degré, qui ferait connaître par sa tangente l’angle que l’un de ces diamètres fait avec le grand axe, et, comme leur inclinaison mutuelle est donnée, leurs directions se trouveraient ainsi déterminées. Nous ne nous arrêterons pas à développer cette solution, non plus que celle des problèmes analogues, mais nous reviendrons plus loin(29a)sur la plus importante de ces questions, celle où il s’agit de construire les axes d’une ellipse, lorsque l’on connaît deux diamètres conjugués en grandeur et en position.

§ IV. Des foyers.

237. Eulfr appelle fo)er d’une courbe un point qui jouit de cette propriété, que sa distance à un point quelconque de cette courbe est une fonction rationnelle et entière de l’abscisse de ce point. Cette définition a été adoptée dans la plupart des traités de géométrie analytique, et cependant elle est

318 GÉOMÉTRIE ANAIYTIQÜE.

loin d’être satisfaisante. On conçoit, en effet, que, si l’on rapportait la courbe à d’autres axes, il pourrait très-bien se faire que la distance du foyer à un point quelconque de la courbe ne fût plus une fonction rationnelle de l’une seulement des deux coordonnées de ce point, de sorte que ce foyer n’en serait plus un. M. Bret, professeur à la Faculté des sciences de Grenoble, a modifié la définition à' Euler dans un article inséré dans le huitième volume des Annales de mathématiques de Gf.rgonîîe; mais cette nouvelle définition, que iV|. Francfort a reproduite plus tard, était restée à peu près ignorée, lorsque M. Auguste Comte attira tout à fait l’attention sur la vraie notion des foyers, en adressant aux candidats de l’Ecole polytechnique une foule de questions qu’il est. souvent très-difficile de résoudre, en partant des idées d’Euler sur ces points remarquables, et qui ne sont plus, au contraire, qu’un jeu facile de calcul lorsque l’on adopte, ainsi que nous allons le faire, la définition suivante des foyers.

On appelle Foyer itune courbe un point tel que sa distance à un point quelconque de cette courbe est une fonction rationnelle , entière et du premier degré des coordonnées de ce point.

258. 11 suit de cette définition que, si une courbe a un foyer, il existe sur son plan une droite telle que le rapport des distances de chacun des points de cette courbe au foyer et à cette droite est constant. En effet, la distance du foyer , à un point quelconque (pé , f) de la courbe devant être une fonction rationnelle, entière et du premier degré des coordonnées de ce point , est donnée par une expression de la forme

my'-fnjéf-p-,

mais la distance de ce même point {f }f) à la droite my-\-nx-\-p=Q a pour expression (129)

mÿ -f- nA -(- p

donc le rapport de ces deux distances est la quantité constante

Vm’-j-n* ,

ce qu'il fallait démontrer.

mr-

ELLIPSE. — FOTEBS. 319

259. Cette droite dont l’existence est intimement liée à celle du foyer se nomme directrice, et on voit par ce qui précède, que son équation s'obtient en égalant h zéro l’expression de la distance du foyer à un yoint quelconque (x , y) de la courbe, et que le rapport des distances de ce point au foyer et à la directrice est égal à la racine carrée de la somme jdes carrés des coefficients de x et de y dans l'équation de cette droite.

260. La réciproque du théorème précédent (258) est vraie, c'est-à-dire que, si une courbe jouit de cette propriété, que le rapport des distances de chacun de ses points à un point et à une droite fixes est constant, ce point sera un foyer, et la droite sera , par conséquent , la directrice correspondante .

Soient, en effet,

my-\- nx -\-p=0

l’équation de la droite dont il s’agit, (sé, y1) les coordonnées d’un point quelconque de la courbe proposée; la distance de ce point à cette droite sera donnée par la formule

mf-j-né-j-p -f- n*

Mais, par hypothèse, le rapport des distances du point ( x! ,yJ ) au point fixe et à la droite fixe doit être une quantité constante Æ; donc la première de ces distances aura pour expression

k{m/ -f- rut -\-p)

donc elle est une fonction rationnelle, entière et du premier degré des coordonnées d’un point quelconque de la courbe; donc le point fixe est^un foyer(257).

261. Quelles sont les courbes qui ont un foyer? La réponse à cette question est fournie par la solution du problème du n° 78. Il en résulte qu’/7 n’y a que les courbes du second ordre qui puissent avoir un foyer, et qu’elles en ont. toutes. En effet , l’équation

n'y'- J-(n* — nù)sd — 2mnpx=0 [6]

que nous avons trouvée représentera une ellipse , une hyper-

bole ou une parabole , suivant que le rapport ^ sera plus petit

que 1 , plus grand que 1 , ou égal à 1 *.

262. Problème. Exprimer qu'une courbe du second ordre dont l'équation renferme un ou plusieurs coefficients indéterminés a 1° pour j ojer un point donné ; 2° pour directrice une droite donnée ; 3° que le rapport des distances de chacun de ses points au fojer et à la directrice est une quantité donnée. ,

1° Soient (a, 0) les coordonnées du point qui doit être un foyer : l’expression de la distance de ce point à un point quelconque (.r, f) de la courbe aura pour expression y (.r — a/ {y — ji)’ ; et, comme cette fonction doit être rationnelle, entière et du premier degré par rapport à x et à y, elle est équivalente à une expression de la forme {mjf- nx-fp)\ de sorte qu’on a

V' {y— P)' + (x— «)■= mjf- nx -\-p [7].

Mais cette équation a lieu entre les coordonnées d’un point quelconque de la courbe que l’on considère ; donc elle n’est autre chose que son équation. Cette équation est fréquemment employée dans les questions où l’on a à considérer le foyer, la directrice ou les axes, et on la nomme l’équation Focale des courbes du second ordre.

Cela posé, soit

A/,-fB^+CrI-{-Dy-}-Er-fF=:0 [8]

l’équation de la courbe proposée, il faudra qu’en donnant des valeurs convenables aux indéterminées, on puisse rendre identiques les équations [7] et [8]; en conséquence, on développera l’équation [7], on divisera tous ses termes par le

* Pour que l’équation [C] représente un cercle, il faut que — =0, ce

qui exige que p soit infini, sans quoi cette équation se réduirait alors à a^-j- ^=0, et en désignant par r la valeur vers laquelle tend le produit — lorsque — tend vers zéro et p vers l’infini, l’équation se réduit à vr*-|- a? — = 0.

Ainsi le cercle a son centre pour foyer; mais la directrice est située a Fig. 28. l’infini ; car alors les valeurs de FO et de AO se réduisent respectivement à r et à l’infini.

dernier; on fera la même opération sur l’équation [8]; et, en égalant les coefficients des mêmes puissances de x et dey dans les deux équations résultantes, on formera les cinq équations de condition

1— »i* A 2 mn B 1— «* C

“*+ PV/>’~F’ «*+ P* — />* F* o’-fP* — P* F’

2(S+'»/>) D 2(a-f -np) E

On éliminera m , n, p entre ces cinq équations, et on obtiendra ainsi deux équations de condition entre les coefficients indéterminés de [8] ; si donc le nombre de ces coefficients est plus grand que deux, il existe une infinité de courbes du second ordre qui auront pour foyer le point donné.

Remarquons que , donner un foyer d’une courbe , c’est assujettir ses coefficients à deux comlitions.

2° Si c’est la directrice qui est donnée, les rapports et

£ seront connus; et, en éliminant a, (3 et m des équations [9], on obtiendra encore deux équations de condition entre les coefficients indéterminés de l’équation [8].

La connaissance de la directrice , comme celle d’un foyer, équivaut donc à celle de deux points ordinaires.

Par conséquent, si l’on donne le foyer et la directrice, il ne devra plus y avoir dans l’équation [8] qu’un seul coefficient dont on puisse disposer arbitrairement.

3° Si le rapport des distances de chaque point de la courbe au foyer et à la directrice est une quantité donnée k, on posera

né té— lé,

et, en éliminant m, n, p, a et (3 entre cette équation et les cinq équations [9] , on obtiendra une équation de condition entre les coefficients de [8].

On tire des trois premières des équations [9] ,

de sorte que l’équation [?] représentera une ellipse, une

hyperbole ou une parabole , selon que l’on aura

, >1, ou =\. K

Ceci s’accorde avec ce que nous avons vu aux n" 261 et 78.

» 265. 11 convient de nous occuper actuellement de la dé-

termination des foyers de chacune des courbes du second ordre; et, en raisonnant comme nous l’avons fait'dans le problème précédent, nous serons conduits à tirer des équations [9] les valeurs des quantités p, a, m, n et p.

Nous n’entrerons pas dans le détail de ce calcul, que M. Roguet a présenté avec beaucoup d’élégance dans le premier volume des Nouvelles annales de mathématiques . Nous croyons plus important d’effectuer la recherche des foyers pour chacune des courbes du second ordre en particulier, et en considérant même la forme la plus simple de son équation. Ceci n’altérera d’ailleurs en rien la généralité des résultats auxquels nous parviendrons; car il suit du théorème du n° 258 et de sa réciproque , que, si on a déterminé les foyers d’une courbe lorsqu'elle est rapportée à un certain système (taxes, ils sont déterminés en même temps pour tout autre système de coordonnées. D’ailleurs, si on voulait passer du premier système d’axes au second, il suffirait de remplacer dans l’équation [7], où a, p, m , n, p sont des constantes, x et y par leurs valeurs dpnnées par les formules de la transformation des coordonnées ; et, comme ces valeurs sont des fonctions linéaires des nouvelles coordonnées, le second membre de cette équation resterait toujours une fonction rationnelle, entière et du premier degré des coordonnées d’un point quelconque de la courbe ; et le premier exprimerait encore la distance du point (a, p) à ce meme point, de sorte que ce point (a, p) est encore un foyer.

264. Supposons donc l’ellipse rapportée à ses axes principaux, et convenons, comme de coutume, de compter les abscisses sur le grand axe : son équation sera

Il faudra donc que l’équation [7] puisse s’identifier avec celle-ci, et que, par conséquent, elle ne renferme pas le rectangle des variables, ce qui exige que m ou n soit nul ; donc alors la distance du foyer à un point quelconque de

t ellipse sera une fonction rationnelle de l’une seulement des deux coordonnées de ce point. Cette remarque fournit , pour déterminer les foyers, une méthode plus simple que celle qui résulterait de l’identification des équations [1 ] et [7]. Désignons, en effet, par S la distance du foyer (a, (i) * au point (x, y) de l’ellipse, nous aurons

^—(f— W’-K*— [io]»

et il faudra que, quand nous aurons écrit dans cette équation que le point (x, y) appartient à l’ellipse, son second membre soit un carré parfait en x ou en y seulement. Supposons que à doive être une fonction rationnelle de x, nous remplacerons, dans son expression , y par sa valeur tirée de f équation [1], ce qui donnera

d'où l’on voit que, pour que cette valeur de soit le carré d une fonction rationnelle de x , il faut d’abord que le facteur yVd — 3? n’y entre pas, et, pour cela, que fi soit nul. L'expression de à* devient alors, en développant,

2 («*+#) [ii].

Or, pour que le second membre de cette équation soit un carré parfait, il faut et il suffît que

«* — bx

d'où l’on tire facilement

On voit, par ces résultats, que l’ellipse a deux foyers situés sur le grand axe et à une distance du centre égale à Va* — U : qu’ainsi, pour les construire, il suffira de décrire une circonférence du point B comine centre et avec un rayon Fig. 91. égal à a. Les poihts F et F' où cette circonférence coupera le grand axe seront les deux foyers.

La distance de chaque foyer au centre se nomme X excentricité \ nous la représenterons désormais par c, de sorte que c=-f -Jct—Ï?.

Supposons maintenant que à doive être une fonction rationnelle de y. Nous observerons que, comme' les équations [1] et [10] ne changent pas lorsqu’on y permute à ia fois x et y, a et b , a et p, ou a le droit de faire ces permu- * tâtions dans les résultats que nous avons trouvés, ce qui donnera

Comme cette valeur de (ï est imaginaire, puisque nous avons supposé a~^>b, on en conclut que l’ellipse n’a pas d’autres foyers que ceux que nous avons construits tout à l’heure.

263. Pour obtenir l’équation de la directrice correspondante à chaque foyer, il faut égaler à zéro l’expression de la distance de chacun d’eux à un point quelconque de l’ellipse (239) : en conséquence, nous allons remplacer a par ï c et (a* — !/) par c* dans l’équation [11], et nous trouverons

le signe supérieur de la quantité comprise dans la parenthèse se rapportant au foyer positif, et Je signe inférieur au foyer négatif. Les équations des directrices seront donc

x=* et x=— t [13].

Ainsi, pour construire la première directrice, on décrira du 91. point O, comme centre et avec a pour rayon, une circonférence; au point N ou elle coupe 1 ordonnée correspondante au foyer, on lui mènera une tangente, et, par le point D où cette tangente rencontre le grand axe, on tirera une parallèle RS au petit. Il sera facile d’obtenir ensuite l’autre directrice.

266. La formule [12] donne les distances des deux foyers à un point quelconque de l’ellipse ;..mais ces distances sont essentiellement positives, et comme c et x sont deux

quantités moindres que a, de sorte que — < a, on voit qu’il

faudra rejeter le signe supérieur ou le signe inférieur qui précède la parenthèse , selon que l’on prendra dans cette

parenthèse le signe supérieur ou le signe inférieur. En appelant donc 5 et ^ les distances respectives du foyer positif et du foyer négatif à un même point de l’ellipse, on aura

et, par conséquent, à-j-^=2a.

Nous voilà ainsi conduits à ce théorème remarquable : La somme des distances de chaque point de t ellipse aux deux foyers est constante et égale au grand axe.