On tire des formules [13] et

MF ( cx\ /a* \ c

Donc le rapport des distances de chaque point de V ellipse au foyer et à la directrice est égal à celui de Ü excentricité au demi-grand axe.

268. L’ellipse jouit exclusivement de la propriété que nous avons énoncée au n° 266 ; car, si l’on considère deux points quelconques R et K', l’un extérieur et l’autre intérieur à cette courbe, on a évidemment

FR -f-RF > FM-fMF=2«,

FR'-fR'F < FM-j-MF=2«.

Ainsi, la somme des distances des deux foyers à un point situe’ hors de V ellipse ou dans l'intérieur de cette courbe est pim grande ou plus petite que te grand axe.

269. Il suit de là que l 'on peut définir l'ellipse une courbe telle que ta somme des distances de ehacim de ses points à deux points fixes est une quantité constante. Ces deux points sont les foyers de la courbe, et cette quantité constante est son grand axe.

Cette définition fournit la description la plus simple de l’ellipse , lorsque l’on connaît ses deux foyers et la longueur de son grand axe. En effet, si F et F' sont ces deux points, et que 2 a soit son grand axe, on portera d’abord sur la droite FF, à partir de son milieu O, deux distances OA et OA' égales à a, et les points A et A1 seront les sommets du grand axe. Puis, des points F et Ff comme centres et avec un rayon A'E plus grand que A;F et plus petit que A'F, on décrira

quatre ares de cercle de part et d’autre de AA', et ou les coupera ensuite par quatre autres arcs de ceécle décrits des mêmes centres et avec le rayon EA égal à l’excès du grand axe sur le premier rayon. Les quatre points M, M1, M", M'" ainsi obtenus appartiendront à l’ellipse. En répétant cette eonstruc- * tion, on obtiendra, comme on voit, autant de points qu’on voudra de cette courbe , de sorte qu’en unissant tous les points ainsi déterminés par un trait continu , on tracera très-approximativement l’ellipse demandée.

On peut encore décrire l’ellipse d'un mouvement continu de la manière suivante : On fixe aux foyers les extrémités d’un fil inextensible dont la longueur est précisément égale au grand axe; on tend ce fil par le moyen d’une pointe à tracer; puis on fait glisser cette pointe de manière que le fil soit toujours tendu , et l’ellipse se trouve tracée quand la pointe a fait une révolution tout entière.

270. Nous allons chercher l’équation de la courbe ainsi décrite. En raisonnant comme au nu 78, on sera conduit à prendre la droite FF' pour axe des abscisses et à placer l'origine des coordonnées rectangulaires au milieu O de cette droite. Cela posé, représentons la distance FF' par 2c, par 2 a la somme des distances de chaque point de la courbe aux deux points fixes F et F*, et par x et J' les coordonnées d’un point quelconque M de cette courbe : alors, si l’on appelle S et èr les distances FM et F'M , on aura

— c)*, ^=^-(-(.t-(-c)*, S-|-S'=2rt.

à et S' sont deux quantités qui varient d’un point à un autre de la courbe : si donc on les élimine de ces trois équations , ou obtiendra l’équation de cette courbe (63). Pour cela, je retranche les deux premières équations membre à membre, ce qui me donue

partant et &==« —

Il ne reste donc plus, pour obtenir l’équation demandée, qu’à substituer l’une ou l’autre de ces valeurs dans la seconde ou dans la première des équations du problème. On trouvera

facilement que le résultat de cette substitution est

ety'-j- (V tr>y— «*(«’ c») = 0.

Or, pour que les arcs, qui par leur intersection doivent déterminer le point M, se coupent, il faut que la distance de leurs centres soit moindre que la somme de leurs rayons, c’est-à-dire que l’on ait 2c<£-|-£,= 2a ouc<a. Le coefficient de x? est donc positif, et le terme indépendant des variables est négatif, de sorte que les conditions analytiques

B* — 4AC<0 et AE’ — BDE-j-CD*-j-F(B* — 4AC) > 0,

par lesquelles nous avons défini l’ellipse au n° 204, sont remplies. La définition du n° 269 équivaut donc à celle-ci.

Remarquons que l’équation du lieu montre quex<^a, sans quoi le premier membre surpasserait le second; et, en effet, la condition c<« n’est pas suffisante pour que les arcs qui déterminent le point M se coupent, il faut encore que l’on ait 2c à' — 8 , et cette condition revient à x <«•

271.11 n’est pas inutile de remarquer encore que, si c<[a, l une ou l’autre des deux équations

et S=a—-,

la seconde par exemple , représente tout aussi bien le lieu cherché que l’équation en x et en^*, à laquelle nous sommes parvenus; car elle exprime une relation constante entre les cordonnées x et S d’un point quelconque de ce lieu, x étant l’abscisse de ce point comptée à partir du milieu O de FF*, et à sa distance au foyer F. On fera bien de discuter cette *

équation &=a — et on verra que l’arc décrit du point F

comme centre avec un rayon égal à (a — ne coupera la

perpendiculaire correspondante à l’abscisse que l’on considère que si la valeur absolue de x ne surpasse pas a.

272. Les foyers des courbes du second ordre jouissent, à l’égard des tangentes à ces courbes, d’une propriété géométrique de laquelle découle une propriété physique fort remarquable , à laquelle ils doivent leur nom. Voici quel est pour l’ellipse le théorème dont il s’agit :

Les rayons vecteurs tires des foyers à un point quel

conque de l’ellipse sont egalement inclinés sur la tangente en ce point.

Supposons l’ellipse rapportée à ses axes principaux, et désignons par (.é ,f) les coordonnées d'un point quelconque M de cette courbe. Menons la tangente MT, et tirons FM et FM. L’angle FMT est évidemment la différence des deux angles T fet F, de sorte que

«a„gFMT=“^I.

Or, les coefficients angulaires de la tangente MT et de la droite FM qui passe par les deux points (x1, f) et (c, 0) sont respectivement (145 et 1 1 7)

tXx'

UngT = -£,

tangF:

je substitue ces valeurs dans l’équation précédente , et je trouve successivement , en ayant égard aux conditions d’y' -(- l/.é’ = a* If et c — y a' — ff , qui expriment que le point (g?, y3) appartient à l’ellipse, et que F est un foyer,

b* j-' y cficx' — Tf) c/‘

tangFMT:

ayty — y

Maintenant, pour calculer tangFMT, j’observe que l’angle F'MT est égal à T — F; qu’ainsi il faudra faire de tangT et de tangF' la même combinaison que nous venons de faire

de tangT et de tangF ; mais la valeur de tangF ne dif-

1ère de celle de tangF que par le signe de c; donc la valeur 'de tang FMT ne devra non plus différer de celle trouvée pour tangFMT que par le signe de c; donc enfin

tang FMT = — Il suit de là que les angles FMT et FMT,

dont les tangentes sont égales et de signes contraires, sont suppléments l’un de l’autre. Mais l’angle F'MT' est le supplément de F'MT; donc FMT' == FMT; ce qu’il fallait démontrer.

«Y 273. Il suit de là, que la normale à l’ellipse divise en tleux parties égales l’angle formé pqr les deux rayons

acteurs menés des foyers à un même point de la courbe, et qu’ ainsi le pied N de la normale est Ü harmonique conjugué du piedT de la tangente par rapport aux foyers .

274. On sait qu’un corps élastique qui vient frapper un plan se réfléchit en faisant l’angle de réflexion égal à l’angle d incidence : donc , si un pareil corps est lancé d’un foyer d'une ellipse, il sc réfléchira à l’autre foyer; car, en frappant la courbe, ce sera comme s’il frappait la tangente au point d’incidence. Donc les rayons lumineux , calorifiques ou sonores, qui émaneront de l’un des foyers d’une ellipse, iront tous se concentrer à l’autre foyer.

§ V. Des tangentes.

27o. Nous allons nous proposer maintenant de mener une tangente à l’ellipse, et ce problème se présentera sous deux points de vue différents, selon que la courbe sera tracée ou qu elle sera déterminée par ses éléments, c’est-à-dire par son grand axe et ses foyers. Chacun de ces deux cas pourra se subdiviser en trois autres; car la tangente demandée sera assujettie à passer par un point donné sur l’ellipse ou hors de l’ellipse , ou à être parallèle à une droite donnée.

1" Cas. L'ellipse est tracée.

276. J st tangente doit passer par un point M donné sur f ellipse. On sait que la tangente menée à l’extrémité Fig. 93. d’un diamètre est parallèle à ses cordes conjuguées (189, 2°); en conséquence, on tracera deux cordes parallèles quelconques, on joindra leurs milieux, et on aura un diamètre AA'; par l’une de ses extrémités on tirera une parallèle A'C au diamètre OM , qui va du milieu de AA' au point donné M, et la supplémentaire CA de A'Osera l’une des cordes que le diamètre OM divise en deux parties égales; de sorte qu’en menant une parallèle à AC par le point M, le problème sera résolu. •

Si l’on veut résoudre ce problème par le calcul, on mènera par le milieu O du diamètre A' A une parallèle à la corde MM', ce qui déterminera son conjugué , de sorte qu’en désignant par 2 a ét par 2 b les longueurs respectives de ces deux dia-

mètres , les équations de l’ellipse et de la tangente au point M (a! , y>') seront

a'j' -j-£V — «*£*=0, et a'y J — «*A,= 0.

Pour détenriiner cette droite , il n’y aura qu’à chercher le point où elle coupe l’un des axes des coordonnées , celui des x, par exemple. En conséquence, je fais J‘=0 dans cette équation, et il en résulte

Ainsi la distance du centre au point d’intersection de la tangente avec l’axe des x est une troisième proportionnelle à 1 abscisse du point de contact et au demi-diamètre sur lequel on compte les abscisses, de sorte qu’il sera facile de construire ce point. Pour cela , on décrira une demi-circonférence sur A'A comme diamètre , on élèvera au point P une perpendiculaire PD à A'A, et en menant au point D une tangente à la circonférence , on déterminera le pied T de la tangente demandée, de sorte qu’en tirant TM, le problème sera résolu.

277. Si l’on trace la droite MT, on aura la tangente au point M\ Donc la droite qui joint le centre de f ellipse avec le point de concours de deux tangentes passe par le milieu île la corde de contact .

278. On appelle socs-tangente la partie d'un diamètre comprise entre la tangente et l’ ordonnée menée par le point

Kig. 93. de contact parallèlement à son conjugué: ainsi PT est la soustangente. Pour en obtenir la valeur, il suffira de retrancher

OP =£ de OT=^*, et il viendra