PT

Cette valeur de PT étant indépendante de b et de y, on en conclut que si on décrit une demi -circonférence sur AA' comme diamètre , et qu’au point D de cette circonférence qui se projette orthogoualement en P, on lui mène une tangente, cette droite ira concourir sur le diamètre A'A avec la tangente demandée : on joindra donc le point T où elle coupe

ELtlPSE. — TANGENTES. 33!

l’axe des x avèc Ife point M, et on obtiendra ainsi la tangente à l’ellipse.

Cette construction n’est pas autre que la précédente (276).

279. Là tangente doit passer par un point donne' sur le plan de l'ellipse, lirons deux cordes parallèles quelconques Fig. 94. dont l’une passe par le point donné C; joignons leurs milieux et prenons pour axes des abscisses et des ordonnées le diamètre AA' ainsi déterminé et son conjugué BBf. Soient («, p) les coordonnées du point C, ( xJ,y J) les coordonnées inconnues du point de contact, 2 a et ‘2b les longueurs respectives des diamètres conjugués AA' et BBf : l’équation de la tangente au point sera

«V r-j- ffxdx — «V/= 0 [15],

avec la condition f

(ty'-\-t/jd'—a'l/= 0 [16].

Mais la tangente devant passer par le point C , son équation doit être vérifiée par les coordonnées de ce point; donc

-ytfaud — <0*1/= 0 [17].

Les équations 1 1 6] et [1 7] ne renferment d’inconnues que les coordonnées x et j1 du point de contact; ainsi il suffira, pour avoir l’équation de la tangente, de les résoudre et de substituer les valeurs de ad et de y que l’on aura trouvées dans l’équation [15]. En éliminant^ entre [16] et [17], on trouvera

(a'py l/*')x]' — ‘la'l/cud — <x‘( fi'— !/) = 0,

d ou X — a»£4- fcV

Pour obtenir la valeur de y, il suffira de permuter a et b,

«et p, dans cette formule, ce qui donnera

J dt a^’+éV— /P) .

mais, comme ces valeurs de ad et de y doivent satisfaire à l’équation [16], il faudra que le radical ait des signes con-

traires dans ces valeurs : l’équation de la tangente menée du point (a, p) sera donc

[rt’Pzh: a \J a *£’- (- b'o? — a'if] y -j- [//a rp: p vfl’P’-f- é*a* — Æ*a*,

les signes se correspondant dans les coefficients de x et de^.

Or, si le point C est situé sur l’ellipse , on a entre ses coordonnées a et [3 la relation «’p’-j-^a* — a'if— 0; mais s’il se trouve hors de cette courbe, l’une au moins de ces coordonnées est plus grande que la coordonnée correspondante de l’ellipse, donc #

c’est le contraire si le point C est intérieur à l’ellipse. Ainsi donc si

(a, p) est extérieur à l’ellipse, 0;

sur l’ellipse, «’p’-j-iV — c<V/= 0 ; intérieur à l’ellipse, «,p,-j-Z>V — a'I?- <0.

Par conséquent, dans le premier cas, le problème admettra deux solutions, une seulement dans le second, et il sera impossible dans le troisième*.

L’équation que nous avons trouvée pour la tangente demandée est évidemment trop compliquée pour servir au tracé de cette droite : en conséquence, nous regarderons £ et y' comme des coordonnées courantes , et alors les «'quations [ 1 6] et [17] représenteront deux lignes passant par les points de contact, et qui les détermineront par leur intersection. Or,

* M Tcnjuem , observant que les points intérieurs à une courbe du second ordre sont les seuls desquels on ne puisse pas lui mener de tangente, en a conclu la méthode suivante pour exprimer qu’un point (a,p) est intérieur à une courbe du second ordre représentée par l'équation Av*-J-Rr> -|-C>!-|-Di'-|-E.r-)-F=0 : élimine/ y entre cette équation et v — p — m(æ — a), et écrivez que l’équation finale a ses deux racines égales ; vous formerez ainsi l'équation qui déterminera le coefficient angulaire m de la tangente issue du point (o,p); donc en exprimant que cette équation en m a ses racines réelles et inégales, réelles et egalps ou imaginaires, vous formerez la condition nécessaire et suffisante pour «jue le point (a, P) soit hors de la courbe, sur celte courbe ou dans son intérieur.