ELLIPSE. — TANGENTES

l’équation [16] est toute construite : son lieu est l’ellipse proposée; quant à l’équation [17], qui revient à

a'$y-\-l?ca: — a'Ié—Q [18],

en supprimant les accents qui sont maintenant inutiles , on voit qu elle représente une ligne droite : c’est donc l’équation de la corde de contact de l’angle circonscrit à l’ellipse qui a pour sommet (a , fi). Pour la construire, nous chercherons les points où elle coupe les axes , en y faisant successivement ^=0 et x=0 , et il viendra

a’ lé %

Ainsi , on obtiendra les points dont il s’agit en cherchant une troisième proportionnelle OD à OP et à ÔA, et une troisième proportionnelle OE à OG = (»P et à OB'; on tirera ensuite DE, et, en joignant le point C avec les points où cette droite rencontrera l’ellipse, on aura les deux tangentes demandées.

Si l’on remarque que la valeur de .r est indépendante du conjugué du diamètre 2 a et de l’ordonnée fi du point C, on en conclura que si sur A'A comme diamètre on décrit une circonférence, et que d’un point quelconque N de la perpendiculaire élevée par le point P sur ce diamètre , on lui mène deux tangentes , la corde de contact correspondante ira couper la direction de AA' au même point que la droite [18]; donc , en menant une tangente à ce cercle par le point où il est coupé par cette perpendiculaire , on déterminera le point D. C’est là la construction même de la troisième proportionnelle à a et à a.

Un raisonnement semblable prouvera qu’on obtiendra le point E, en tirant par G deux tangentes au cercle décrit sur BB' comme diamètre, et en unissant les points de contact par une ligne droite.

Nous reviendrons plus tard sur les considérations qui nous ont conduits à ces élégantes constructions.

280. La comparaison des équations [15] et [18] montre que l’équation de la droite qui joint les points de contact de deux tangentes issues d'un point donné s’obtient en cherchant l’équation de la tangente en ce point P comme s’il était sur l'ellipse.