ELLIPSE. — TANGENTES

que le point C sera situé hors de l’ellipse, sur cette courbe ou dans son intérieur.

Supposons, en effet, que le point C. soit extérieur r il faut prouver que la distance F'C, des centres est plus petite que la somme des rayons ! la et FC, et plus grande que leur différence; mais comme on ignore laquelle des deux droites 2a et FC est la plus grande, on devra , pour vérifier cette seconde condition, montrer que chaque rayon est plus petit que la somme faite de la distance des centres et de l’autre rayon. Or, puisque le point C est extérieur à l’ellipse, on a (268)

F'C -j- CF > 2a;

donc le rayon 2a est moindre que la somme du second rayon CF et de la distance des centres. Ensuite on a dans le triangle CFF,

CF < CF -f- FF' < CF -f 2a;

le rayon CF est donc aussi moindre que la somme de l’autre rayon 2a et de la distance des centres. Enfin , ce même triangle CFF donne

CF < FF-f-CF < 2a-f CF ;

donc, la distance des cçntres est moindre que la somme des rayons; donc, enfin, les deux cercles se coupent en deux points; donc il y a deux solutions.

Si le point C est sur l’ellipse , on a

CF-(-CF=2a, d’où CF' = 2a— CF;

la distance des centres est donc égale à la différence des rayons, de sorte que les deux cercles sont tangents et que le problème n’a plus qu’une solution. Voici donc une seconde manière de résoudre le problème du n° 276.

Si le point C est intérieur à l’ellipse, on a (268)

CF -f CF < 2a, d’où CF' < 2a — CF :

la distance des centres est ainsi moindre que la différence des rayons, par conséquent l’une des circonférences enveloppe l’autre, et le problème est impossible.

283. Le cercle est une ellipse dont les foyers coïncident avec le centre (264) ; et comme la construction précédente est indépendante de la valeur de l’excentricité , on pourra ,

Fig. 95.

comme nous l’avons fait dans nos Leçons de Géométrie , (159), l’employer pour mener à un cercle déterminé par son centre et par son rayon une tangente par un point donné sur son plan.

284. Si , dans la figure 92, on joint le centre O au point I où la tangente coupe la droite FK, la droite OI ainsi tracée

’ sera la moitié de FK, c’est-à-dire de 2a; mais I est la projection de F sur CT ; donc le lieu des projections des foyers d’une ellipse sur toutes ses tangentes est la circonférence décrite sur son grand axe comme diamètre.

285. La tangente doit être parallèle à une donnée. En Fig. 96. raisonnant comme nous l’avons fait au n° 282, on verra que

le point K se trouvera à l’intersection de la perpendiculaire abaissée de l’un des foyers F sur la droite donnée RS, et de la circonférence décrite de l’autre foyer F comme centre avec un rayon égal au grand axe, de sorte qu’en élevant une perpendiculaire sur le milieu de FK, on aura la tangente, et en tirant F'K on déterminera le point M de contact. Comme la circonférence coupe la perpendiculaire FG en deux points , il y aura toujours deux solutions.

On prouvera facilement qu’en faisant pour le foyer F ce qu’on vient de faire pour le foyer F, on n’aurait pas de nouvelles solutions.

286. On peut mettre l’équation de la tangente aux courbes du second ordre sous une forme qui , dispensant de l’accompagner d’une équation de condition , est souvent plus commode dans la résolution des problèmes que l’équation ordinaire de la tangente. Soient

uf'-fl/x*— a!^*= 0

l’équation de l’ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués, et

y— mx -j- n

l’équation d’une droite quelconque : cette droite deviendra tangente à l’ellipse proposée, si nous exprimons que les abscisses des points où elle coupe la courbe sont égales. Eliminons donc^- entre leurs équations, et écrivons que l’équation résultante a ses racines égales : nous trouverons

aV/iV — a'{rè — IL) ( a' né — }— d’où n—zk: ja'nè ù\

Par conséquent

ELLIPSF. — TANGENTES.

j —mx dr sj «V«* -(-// [19]

est l’cquation des deux tangentes dont le coefficient angulaire est/n. Ainsi, cette équation détermine la tangente à l’ellipse en fonction de l’angle qu’elle fait avec l’axe des.r, et non par les coordonnées du point de contact.

Pour donner un exemple de l’usage de l’équation [19], nous allons chercher L équation du Heu des projections des foyers d'une ellipse sur toutes ses tangentes. Soit

y=mx-\- ja'm'-^-l?

l’équation d’une de ces tangentes , rapportée aux axes principaux de la courbe. L’équation de la perpendiculaire abaissée d’un foyer sur cette tangente sera

)■=■ — ~(x — c), avec la condition c=\câ — IL.

Si donc on élimine ni entre ces équations, on aura résolu la question (63). Or, on peut les écrire de la manière suivante :

(jr — mxf = a'rnx -j- h' , et — If.

En ajoutant ces deux dernières , puis supprimant le facteur commun (1 -j-m1), il viendra

équation qui démontre le théorème du n° 284.

§ VI. Des normales.

1er Cas. L'ellipse est tracée.

287. Ixi normale doit passer par un point donné de tel- Fig. 9î. lipse. Menez en ce point une tangente MT à l’ellipse, puis par

ce même point une perpendiculaire MN à cette tangente.

288. La normale doit passer par un point C donné sur Fig. 97. le plan de l'ellipse. On cherchera les axes de l’ellipse (284)

et on les prendra pour axes des coordonnées; puis en désignant par oé et par y1 les coordonnées du point M, origine de la normale, et par (a, (ï) celles du point donné C, on

verra, en raisonnant comme au n° 279, que les équations du problème sont

c'xy — a'a.r-\-fj$x—Q, et a'y'-^b'x1 — a'/r=Q.

On construira donc l'hyperbole équilatère(209et228, 2") représentée par la première de ces équations, et, enjoignant les points où elle coupera l’ellipse au point C, on aura toutes les solutions du problème. Comme l’hyperbole passe par le centre de l’ellipse, le problème aura toujours deux solutions : il en aura quatre ou trois, selon que l’autre branche coupera cette ellipse ou lui sera tangente.

289. La normale doit être parallèle à une droite donnée. Menez une tangente qui soit perpendiculaire à cette droite (28 i), et tirez par le point de contact une perpendiculaire à la tangente ainsi tracée.

2e Cas. L'e/li/tse est déterminée par son grand axe et par

ses foyers.

290. La normale doit passer par un point donné sur le plan de l'ellipse. Il n’y aura qu’à résbudre les deux équations du n° 288, et à joindre le point C avec les points déterminés par les couples de valeurs de x et de^- que l’on aura ainsi obtenus, et ie problème sera résolu.

Fig. 92. Si le point donné est situé en N sur le grand axe, on fera, dans la première des équations du n° 288, P=0, et on en tirera

valeur qu’il sera facile de construire.

On pourra encore chercher, dans ce cas, l’harmonique conjugué T de N par rapport aux deux foyers F et F', et on aura ainsi le pied de la tangente correspondante à la normale cherchée (273).

291. La normale doit être parallèle à une droite donnée. On mènera une tangente qui soit perpendiculaire à cette droite, et il sera facile d’achever la solution du problème.

292. H est évident que la normale coupe le grand axe entre les deux foyers , puisqu’elle partage en deux parties égales l’angle formé par les droites qui joignent son origine avec ces deux points : mais son pied peut-il parcourir tout

ELL1PSF. — NORMALES. 339

l’intervalle compris entre les «leux foyers? Pour le savoir, nous allons d’abord calculer la distance de ce pied au centre de l’ellipse, en supposant que l’on ait pris les axes de cette courbe pour ceux des coordonnées : faisons donc^=0 dans l’équation

de la normale au point {£, y1), ce qui donnera