NORMALES

Sûi

veinent par addition et par soustraction avec la première , on trouvera

a-\-bz=.sj

et* a — b=\d'~\-Ûi — 2<y7/sin9;

ou, en observant que sin9 = — cos (90° 6) et que

sin 9 = cos (90° — 9) ,

a -\-b=. — 'Idll cos(90°-j-9)

et a — — 2«Y/cos(900 — 9).

Ainsi («4-t9)est le troisième côté d’un triangle dont d et U sont les deux autres côtés, et (90° -(-9) l’angle qu’ils comprennent. l)e même (a — U) est le troisième côté d’un triangle dont les deux autres côtés d et U comprennent l’angle (90° — 9).

En conséquence , on abaissera du point M une perpendiculaire indéfinie sur SSr ; l’angle OMF' extérieur au triangle OMI sera égal à (90°— }— 0), et l’angle OMI vaudra (90° — 9); si donc on prend les deux distances MF et MF' égales à U, et qu’on joigne OI,v et OF, la première de ces droites sera égale à (a-^-b) et la seconde à (a — b ), de sorte que leur somme F'G sera égale au grand axe , et leur différence F' K. sera égale au petit.

Maintenant, si l’on décrit une ellipse qui passe par le centre O de l’ellipse proposée, et qui ait pour foyers les deux points F et F', il est clair que son grand axe sera égal à 2 a , c’est-à-dire à celui de l’ellipse que l’on considère. Or, je dis qu’elle sera tangente au petit axe de cette ellipse. En effet, en vertu du théorème du n° 294, on a Ml . MR=a*,

d’où MR = mais MI est l’abscisse du point O de la seconde ellipse, comptée sur son grand axe et à partir de son centre M; donc R est le pied de la tangente au point O (276); donc BB' est cette tangente * ; donc OA est une normale à la seconde ellipse ; donc elle divise l’angle F'OF en deux par-

, * De là cet élégant théorème de M. Chasles , à qui l’on doit la con-

struction que nous allons indiquer : Si en un point quelconque d'une ellipse , on mène une normale, et qu' après avoir pris sur cette d/vite deux segments égaux à la moitié du conjugué du diamètre qui va au point dont

Fig. 100

Fig. 101

ties c'gales. Ainsi , pour déterminer la direction du grand axe de l’ellipse cherchée, il suffira de tirer la bissectrice de l’angle F'OF.

Donc, pour déterminer les axes d’une ellipse dont an eonnail deux diamètres conjugues de grandeur et de position, par l'extrérnité INI d’un des diamètres donnés on mènera une perpendiculaire h l'autre ; on portera sur cette droite , à partir du point M, deux longueurs égales à la moitié de ce second diamètre ; on joindra tes extrémités de ces deux segments au centre de la courbe : Ui somme de ces deux droites sera égale au grand axe , et leur différence donnera le petit axe. Enfin, on divisera en deux parties égales l'angle formé par ces deux mêmes droites, ainsi que son supplément , et les bissectrices ainsi obtenues seront les directions respectives du grand et du petit axe.

§ VII. De l’aire de l’ellipse.

296. Proposons-nous d’abord d 'évaluer taire d'un segment elliptique compris entre un diamètre et deux ordonnées BC et Gl parallèles à son conjugué. Pour y parvenir, je suppose que l’on ait partagé la base BI de ce segment eu un certain nombre de parties égales, que l’on ait mené les

ordonnées correspondantes Ml), LE, KF, et tiré les

cordes CD, DE, EF, .... On aura ainsi formé un polygone BCDEF....G1 dont l’aire différera d’autant moins de celle du segment elliptique que le nombre des divisions de BI sera plus grand ; de sorte que la limite vers laquelle tend l’aire du segment polygonal BCDE....GI, lorsque le nombre des parties dans lesquelles on a divisé BI croît indéfiniment, est l’aire même du segment elliptique BCEGI *.

il s'agit, nu décrive une ellipse qui passe par le centre tle ta première et ait pour foyers les deux points qu’on a mari/ués sur la normale, cette ellipse aura le même grand axe que la première et sera tangente à son petit axe.

* Soit AB un arc de courbe rapporté à deux axes faisant entre eux un angle quelconque 0, et supposons que les ordonnées de ses differents points aillent en croissant depuis AC jusqu’à BI). Je partage CD en un nombre n de parties égales ou inégales, mais qui tendront toutes vers zéro lorsque n croîtra au delà de toute limite, je mène les ordonnées C|A|,C»A|, C3A3,.... C„i A*i , et je lire par les points A, A,, A,,... A,-*