DE L’AIRE DE L’ELLIPSE

Je décris un demi-cercle sur AA', comme diamètre, puis je mène par les points I, K, L, M, R des perpendiculaires à AA', et je joins chacun des points C', D', Ë', F', G' avec le suivant. Maintenant, j’abaisse du point B la perpendiculaire BQ sur MD ; on aura évidemment BQ=BM sin 6, en appelant û l’angle que le diamètre A'A fait avec son conjugué; donc

BD = BMsin 9

Biy=BC'+MD'BM; j

donc

BD BC-fMD

BD' BC'-fMD'

Mais, en vertu du théorème du n" 241, on a

sin G.

BC:BC'::MD;MD':://:rt',

en désignant par 2a' et par ‘2.U le diamètre A'A et son conjugué ; on tire de là

BC + MD Jf BC'-fMD' a7 ’

partant

des parallèles à OX terminées chacune aux deux ordonnée* qui précèdent et qui suivent. Je formerai ainsi deux séries de parallélogrammes CjA, CjA,, CjA,, DA„t et CA„C|A„ CjA3,.... Cn,B, les uns

intérieurs et les autres extérieurs au segment curviligne CABD. Soient e„ £,, £3>... £n, les intervalles CCj.CtC,, CjQ,... C„,D, et a,alt et b les ordonnées des points A, Ai, A„....A„i, B. La différence des deux parallélogrammes CA, et AC, sera s/o, — n) sin 0 , de sorte que l’excès de la somme des parallélogrammes extérieurs sur celle des parallélogrammes intérieurs aura pour expression

t ‘i ("i — n)~\~ £i('*> — r7i)*f' £s(tfs — E»(^ — rtn-i) î sin 0 ;

mais, si l’on désigne par E la plus grande des quantités t,, e,, c,,....!,, cette differente sera évidemment moindre que

E(«J] — «-)-«, — r/, — j— «73 — fit — — -\-b — <in t) sin 6 = E (6 — a) sin 0,

quantité qui tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment; donc la limite commune de la somme des aires des parallélogrammes intérieurs et de la somme des aires des parallélogrammes extérieurs est l’aire curviligne CABD. Donc aussi cette aire est la limite de celle du segment polygonal CAA(Aj — BD.

Si l’on considère maintenant le segment curviligne LMNBÀC, on

mènera par ceux de ses points N, B qui sont les plus près et les plus

loin de OX des parallèles NP, BI),... ii l’axe des y, et le théorème que nous venons d’établir sera vrai pour chacun des segments curvilignes CABD, P^BD, OLNP, et par conséquent pour le segment total LMXBAC.

Ainsi, le rapport de l’un quelconque des trapèzes intérieurs à l’ellipse au trapèze correspondant du cercle est constant : ^>n a donc cette suite de rapports égaux

bd : bd' : : me : me' : : lf : lf' : : kg : kg' : : sino : d ;

et par suite d’où

BCDEFGI .

BC'D'F.'F'G'I 7Sln J ’

BCDEFGI = . BC'D'E'F'G'I.

Or, cette équation est vraie, quel que soit le nombre des parties dans lesquelles on a divisé BI ; donc les limites de ses deux membres sont égales : mais ces limites sont les aires S et S' des segments elliptique et circulaire BCG1 et BG'G'I ; donc on aura

formule qui fait dépendre la quadrature du segment elliptique de celle du segment circulaire , laquelle est donnée par la Géométrie élémentaire.

Si l’on suppose que la base du segment elliptique soit le diamètre A'À, l’aire de ce segment sera la moitié de celle E

» de l’ellipse, et S' sera alors égale à5mt'3; donc on aura

E=7 :dU sinô ;

ce qui nous apprend que Paire de P ellipse est égalé au produit du rapport de la circonférence au diamètre multiplié par Paire du parallélogramme construit sur deux demidiamètres conjugués quelconques , ou par le rectangle des derni-axes .

On peut dire aussi que Paire de P ellipse est égale à cille cP un cercle dont le diamètre serait une moyenne proportionnelle entre les axes de cette ellipse.