Problème. Evaluer Paire d'un secteur elliptique
Fig. 102 Soit AOB le secteur dont on demande l’aire ; je mène par le point B une ordonnée BC parallèle au conjugué du diamètre A'A, puis par le pied C de cette ordonnée j’élève la perpendiculaire CB' au diamètre AA' jusqu’à la rencontre de la circonférence décrite sur AA', et je joins OB'. On aura
ADBC:AD'B'C::/ysin0:a,;
DE l'aire de l’ellipse. • 3/|5
mais la comparaison des triangles OBC, OB'C donne pareillement (241)
obc : ob'c : : BCsine : B'c : : #sinû : o';
donc
AOB ; AOB' ; ; #sin0 : d ,
d’où
AOB = AOB' . -, sin 0 ;
mais
AOB'=* arc AB', d ;
donc
A0B=3arcAB'. #sin0.
Or, si l’on désigne par « l’abscisse OC du point B, on a a=a'cosAOB', et, par conséquent, la longueur de l’arc AB'
a pour expression d. arccos=^>; donc enfin AOB db'sm 0 .are cos =
§ VIII. Applications.
298. Problème. Décrire une ellipse dont on connaît un foyer et trois points.
Soient F le foyer et M, M', M" les trois points donnés : l’in- Fig. 103 connue de la question est évidemment la directrice. Supposons que RS soit cette droite. Si des points M et M' on abaisse sur cette directrice les perpendiculaires MQ et M'Q', que l’on joigne MF et qu’on tire M'F1 parallèle à MF et égale à M'F, il suit d'un théorème connu de Géométrie*, que les trois droites QQ', FF' et MM' iront concourir; donc le point d’intersection K" des droites MM' et FF' déterminera un point de la directrice. En faisant usage du troisième point M", on obtiendra un second point N' de cette droite, et on pourra par conséquent la tracer. Alors, si l’on abaisse de F une perpendiculaire sur RS, on aura la direction du grand axe de l’ellipse, et on obtiendra les sommets en cherchant sur sa direction deux points
* Si deux angles ont leurs côtes proportionnels , parallèles et dirigés dans Te même sens ou dans des sens contraires, les droites qui joignent les extrémités des côtés homologues vont concourir sur la droite qui joint leurs sommets. (Leçoxs de Géométrie.) *
dont les distances à F et à D soient proportionnelles aux distances du point M à F et à RS. Poür cela, on abaissera MQ perpendiculairement sur RS, on prendra MI = M1,= MF, on joindra le point M avec les points S et R où IF et FF couperont la directrice , ce qui déterminera les deux sommets A et A'. Il sera alors facile d’avoir le centre et l’autre foyer. Le problème n’a qu’une seule solution; car, en combinant les pointç Mff et M', on trouverait un troisième point N qui serait en ligne droite avec N' et *.
29». Si Y on demande l'équation de la courbe dont F est le foyer, et qui passe par les trois points M, M', M", on prendra ce foyer pour origine des coordonnées rectangulaires, et alors l’équation de cette courbe pourra être mise sous la forme (2 62).
^-\-y=i.mrJrn^JrP? [21]-
Appelons p', o", pw les distances du foyer F aux trois points donnés, et (ar, jJ), (V', y"), (r"', y") les coordonnées respectives de ces trois points, nous aurons donc, pour exprimer que l’ellipse passe par M, M' et M", les trois équation^ de condition
rfcp' =my ' H-p" =.my dtp '"=/»/"
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dans lesquelles les signes se correspondent. En effet, la quantité (m ÿ -}- tud-\- p) est positive ou négative, suivant que le
* En effet, la similitude des triangles N"MF et N*M'F' donne la proportion
mf : MT' n"m : n"m'.
De la comparaison des triangles N’MF et N'M"F", et NM'F et NM'T, , on tire pareillement
m"f" : MF :: N'M" : N'M ,
