ELLIPSE. — APPLICATIONS

point est au-dessus ou au-dessous de la directrice par

rapport à l'axe des x (128). Or, les trois points M, M', M" sont d’un même côte de cette droite, donc les seconds membres de nos trois équations sont positifs ou négatifs en même temps; donc il faudra prendre à la fois dans le premier membre de chacune le signe supérieur ou le signe inférieur. Mais, quand on aura résolu le système des trois équations [22] en supposant que leurs premiers membres aient lesigne-j-, il suffira, pour avoir les valeurs de m, n et p relatives à l’autre signe, de remplacer, dans les formules trouvées, pf, pr/ et p'" par — p', — p" et — t ", et on aura des valeurs qui ne différeront des premières que par les signes (cela résulte de la règle de Cramer donnée dans {'Algèbre (1 40) pour construire les formules qui servent à résoudre un système d’équations du premier degré à plusieurs inconnues), de sorte qu’en substituant ces doubles valeurs dans [21 ] , on ne trouvera qu’une seule équation.

500. Problème. Décrire une ellipse dont on connaît la directrice et trois points.

Abaissons des trois points donnés M, M', M" des perpendi- Fig,i04 ♦ culaires MQ, M'Q', M"Q" sur la directrice RS, et on obtiendra le foyer en cherchant un point dont les distances aux trois sommets du triangle MM'M" soient proportionnelles aux trois droites MQ, M'Q, M"QV, problème donL nous avons donné la solution dans nos façons de Géom étrie (222). Pour le résoudre, on prendra MQ,= MQ, on joindra le point Q, avec les points Q’ et Q", et on prolongera MM' et MM" jusqu’il leur rencontre avec la directrice; enfin, on décrira deux circonférences sur H "K" et sur Il'K' comme diamètres, et leurs points d’intersection seront chacun un foyer. Si donc ces points sont d’un même côté de la directrice, il y aura deux solutions; une seule, si ces points sont situés de part et d’autre de la dirçctriee, ou si les deux circonférences sont tangentes, et aucune si elles ne se rencontrent pas.

La recherche de l’équation de. la courbe ne saurait présenter d’autre difficulté que celle de la longueur du calcul.

501. Problèmes. I . Décrire une ellipse dont on commit le foyer, un sommet et un point. — L’inconnue est la directrice. — Troucer f éqiuition de cette ellipse.

II. Décrire une ellipse (puait pour foyer un point donne, touche une droite donnée en un point déterminé, et passe en

outre par un autre point donne'. — L’inconnue est la directrice, et on se fonde sur ce principe, savoir : que la tangente en un point donné d'une ellipse et la perpendiculaire élevée par le foyer sur le rayon vecteur mené de ce foyer au point de contact, concourent sur la directrice.

III. Démontrer par des considérations purement géométriques que les diagonales de tout parallélogramme circonscrit à une ellipse forment un système de diamètres conjugués.

IV. Inscrire dans une ellipse un rectangle équivalent à un carré donné. — Discussion. — Dans quel cas le rectangle inscrit sera-t-il maximum ?