THÉORIE DE L'HYPERBOLE

§ I. Construction de l’hyperbole.

302 • ^ous avons vu que l’équation générale des hyperboles pouvait toujours être ramenée à

dans laquelle '2a et 2 b représentent les longueurs des diamètres conjugués, sur les directions desquels on compte respectivement les abscisses et les ordonnées. Le premier rencontre la courbe, mais le second ne la rencontre pas.

L équation [1] fournit, pour construire l’hyperbole, une méthode analogue à celle que nous avons donnée au n° 238, lorsque 1 on connaît deux diamètres conjugués de grandeur et de position. En effet, si on résout cette équation par rapport a x (la construction serait un peu moins simple en résolvant 1 équation [ I ] par rapport àjf), il viendra

*=±îvy+*. d’où b\a::sjÿ+ïï:x-,

ainsi 1 abscisse d un point quelconque est une quatrième proportionnelle h b, a et \jj3-\-tf. Supposons donc que A'A=2 a soit le diamètre transverse et B'B=2^son conjugué non trans- Fig- 105 verse. J éleveau point ü sur BB' une perpendiculaire OB, égale à b , et si je joins un point quelconque Q de BB' avec B, , la distance Q B, sera égale à Je prends ensuite OB,At=OA,

et par le point A, je mène à BB' une parallèle qui coupe la droite QB, au point m , et Q rn est la quatrième proportionnelle demandée aux droites^, net de sorte qu’en reportant

cette distance Q rn de Q en M et en M' sur une parallèle menée par le point Q à A'A, les points M et M' ainsi déterminés seront les points de l’hyperbole qui ont OQ pour ordonnée.

Si les diamètres conjugués sont rectangulaires , la con- Fig* »oc struction se simplifie, parce que le point B, se trouve alors sur A'A.

Fig. 105 et 10C.

350 GÉOMÉTRIE ANâtYTIQÜE.

Si l’on reporte la distance QB, de Q en N et en N* sur la parallèle menée par Q à A'A , le lieu des points ainsi déterminés aura pour équation

ou y* — od= — b'.

C’est donc une hyperbole équilatère dont deux diamètres conjugués sont égaux à^(228, 3°), et forment un angle égal à BOA (fig. lOô'S, ou dont les axes sont égaux à b (fig. 100). Ainsi, pour construire une hyperbole équilatère dont les axes principaux sont donnés, on mènera par tous les points de l’axe imaginaire des parallèles au premier, et en rapportant sur chacune 'fiel distance du point par lequel elle est menée aux sommets, on aura un point de chaque branche.

303. Si l’on veut construire les asymptotes de l'hyperbole représentée par l’équation 1], on se rappellera qu’on a trouvé (168) qu’elles avaient pour équation

de sorte que pour les tracer il suffira de mener par l’extrémité A du diamètre A'A une parallèle à son conjugué, de prendre sur cette parallèle les deux distances AG et AG' égales à la moitié de ce con jugué, et de tirer par le centre O les droites indéfinies OG et ÜG1.

Les asymptotes sont donc les diagonales du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques. On voit encore que la droite GG' étant une tangente au point A (189, 2°), la portion de la tangente comprise entre tes asymptotes est égale au conjugué du diamètre qui va au point de contact, et qu’elle est divisée par ce point en deux parties égales.

304. La comparaison des deux hyperboles de la fig. 1 05 donne la proportion

QN ; QM ; : 5 ; a ;

d’un autre côte, on tire facilement des équations de ces hyperboles

yt= \Jx!—<è et y== jjé—a\ la proportion y, \y ; ; a \ b :

donc si l’on décrit une hyperbole équilatère qui ait un