Si l’hyperbole est équilatère a=b, et on a

tang a tanga,=1 ,

en appelant a et al les inclinaisons des deux cordes supplé-

* On ne considère que des cordes supplémentaires issues des extrémités d'un diamètre transverse.

mentaires que l’on considère sur l’axe transverse; donc les angles a et af sont complémentaires. C’est la propriété dont jouissent deux cordes supplémentaires du cercle, mais avec cette différence que dans le cercle ces angles ont deux côtés dirigés en sens contraires, et que dans l’hyperbole équilatère ces côtés sont dirigés dans le même sens : aussi dans la première de ces courbes, les cordes supplémentaires forment un angle constant qui est droit, tandis que dans la seconde elles forment un angle variable qui est aigu.

L’hyperbole équilatère est, dan? la série des hyperboles ordinaires, ce qu’est le cercle dans la série des ellipses, et ces deux courbes ont ainsi la plus grande analogie. La comparaison des deux théorèmes que nous avons établis aux n°* 241 et 304 en fournit un exemple.

309. On peut toujours mener par les extrémités d'un diamètre transverse quelconque , deux cordes supplémentaires parallèles à celles qui correspondent à tout autre diamètre transverse (243).

310. En changeant lè en — !/ dans les calculs du n° 246, on trouvera

tangJ

formule qui nous montre que l'angle aigu formé par deux cordes supplémentaires dans l' hyperbole peut passer par tous les états de grandeur compris entre 0° et 90% de sorte que cet angle n’a pas de limites . C’est ce que l’on reconnaît synthétiquement en décrivant un cercle sur l’axe transverse, comme diamètre, et en examinant ensuite quelle est la mesure de l’angle formé par deux cordes supplémentaires , issues Fig. 106 des extrémités de cet axe. Ainsi l’angle A HA est aigu.

§ III. Des diamètres conjugués.

311. Pour que deux diamètres soient conjugués, il faut et il suffit qu’ils soient parallèles à deux cordes supplémentaires, ou, en d’autres ternies, que le produit des tangentes des angles qu’ils font avec l’axe transverse soit

égal à ^ (249 et 230).

II n'y a pas, dans l'hyperbole, d'autre système de diamètres conjugues rectangulaires que celui de ses axes (25 i).

312. Problème. Une hyperbole et un de ses diamè- Fib- l°7 très CC étant donnés, trouver son conjugué.

Tirez deux cordes parallèles quelconques , et en joignant leurs milieux vous déterminerez un diamètre AA'. Menez par A! une corde A'M parallèle à CC, joignez MA et tirez par le centre une parallèle à MA : ce sera la direction du diamètre demandé Diy. Cette construction vérifie ce que nous avons déjà reconnu (224) , que de deux diamètres conjugués d’une hyperbole, l'un ne rencontre pas la courbe, tandis que l’autre la coupe*. Il reste à trouver la longueur de ce diamètre DIT. Pour cela, je mène une tangente à l’hyperbole au point A, ce qui se fait en tirant par ce point une parallèle aux cordes conjuguées du diamètre A'A; puis je suppose que l’on prenne les deux diamètres CCf et DD' pour les axes des x et des^-, et que l’on représente leurs longueurs par 2 a et 2 b : l’équation de l’hyperbole sera

a'y* — /Ar,-j-as//=0 ,

et, par conséquent, on aura pour l’équation de la tangente AT au point y1)

câÿy — l/.éx -j- a'ff = 0 .

Cherchons l’ordonnée à l’origine de cette tangente : nous trouverons qu’elle est donnée par l’équation

yyJ=—& i

or, ^-=OT, AI= — OK; donc M=OT.OK; de sorte

qu’on obtiendra b en prenant une moyenne proportionnelle entre OT et OK..

313. Problème. Une hyperbole étant donnée , trouver deux diamètres conjugués qui fassent un angle donné 6.

* Cela résulte encore du principe du n“ 311; car, puisqu'on a

tang i tang on voit que des deux quantités tanga et tanga' l’une

sera plus grande que - , et l’autre plus petite que ^ ; donc l’un des diamètres est tracé dans les angles asymptotiques GOG' et 101', et son eon- t'IL ,oâ jugué est hors de ces angles.

Solution du n° 255. Observez seulement que le problème est toujours possible et admet deux solutions, si l’angle donné n’est pas droit, parce que l’angle formé par deux cordes supplémentaires, n’ayant pas d’autres limites que zéro et 180°, on pourra toujours tirer par les extrémités de l’axe transverse, et, par conséquent, par celles de tout autre diamètre transverse, deux systèmes de cordes supplémentaires qui fassent entre elles l’angle 6.

514 . Pour trouver les directions des a res d'unehypcrlmle, on décrira une demi-circon férence sur l’un quelconque CO Fig. 108 de ses diamètres transverses, on joindra le point M où il coupe la courbe aux extrémités de ce diamètre , et il ne s’agira plus que de tirer par le centre des parallèles à ces cordes ( 254). On déterminera ensuite la longueur de l’axe imaginaire par la méthode du n" 512.

51 5. On a entre les longueurs 2 a1 et l2d de deux diamètres conjugués, leurs inclinaisons a et a' sur l’axe transverse de l'hyperbole, l’angle 6 qu'ils forment entre eux et les longueurs 2 a et 2 b des axes, les quatre équations suivantes (227 et 511):

cl'- — l)'=a ' — I/, dl/sinü—ab, tangatanga'=^, a! — a = 6,

dont on pourra faire l’usage indiqué au n° 256.

§ IV. De» foyer».

516. Dans les calculs du n° 264, changez b * en — b', et vous trouverez, lorsque m= 0, que

P=0, a—dzs/a'-^b'.

Il suit de ces résultats que l’hyperbole a deux foyers situés Fig. 109 sur l’axe transverse, à une distance du centre égale à yVi’-j-/»* ; qu’ainsi, pour les construire, on élèvera à l'une des extrémités de l’axe transverse une perpendiculaire AG égale à la moitié de l’autre axe ; puis du point O comme centre et avec OG pour rayon , on décrira une circonférence de cercle qui coupera AfA en deux points Fet Ff. Ce seront les foyers. Nous représenterons désormais l’excentricité par c, de sorte que

Il n’y a pas d’autres foyers que ces deux points; car