L’équation de la tangente à l’hyperbole exprimée

en fonction de l’angle qu’elle fait avec l’axe des x est (286)

y=mxdz sjcém1 — Ü,

§ VI. Des normales.

Repétez ici tout ce qui a été dit aux nw 287, 288...,

356. En raisonnant comme on l’a fait au n° 292, on verra que, si l’on prend sur l’axe transverse une distance c* .

Fig. lis OL=-, le point L sera une limite dont le pied de la normale,

toujours situé à droite de ce point, approchera indéfiniment, à mesure que l’origine (x\ jr) de cette normale s’approchera elle-même indéfiniment du sommet A, et dont ce pied s’éloignera au contraire au delà de toute distance assignable, lorsque le point (a/, y1) décrira la branche positive, à partir de A.

§ VII. Propriétés relatives aux asymptotes.

357. Théorème. Les portions (Pline sécante quelconque comprises entre l'hyperbole et ses asymptotes sont égales t entre elles.

Fig. 116 En effet, soient NN' une sécante quelconque terminée aux asymptotes et MM' la corde qu’elle laisse dans l’hyperbole : si nous prenons pour axe des x le diamètre qui divise cette corde en deux parties égales, pt son conjugué pour axe des^", les équations de l’hyperbole et de ses asymptotes seront respectivement

a'y* — b\vt-^-a,l/=0 et y~dz^x.

Donc, les ordonnées NP et N'P des asymptotes correspondantes à l’abscisse OP seront égales, et, comme MP=M'P par construction, il s’ensuit que MN=M'N', ce qu’il fallait démontrer. •

538. Le théorème précédent offre une méthode trèssimple pour décrire /' hyperbole par points, quand on con- Fig. in hait les asymptotes et un point de la courbe. Soient, en effet, Xx et Y y les deux asymptotes et M le point donné : tirez par ce point une sécante quelconque NM N' terminée à ces droites ; prenez N’M' égale à NM, et le point M' appar-

HYPERBOIB. — ASYMPTOTES. 363

tiendra à la courbe. En répétant cette construction , on trouvera autant de points que l’on voudra.

11 sera bon de ne pas faire passer toutes les sécantes par le point donné M, et de faire servir à cet usage quelques-uns de ceux que l’on aura déterminés. On évitera ainsi la confusion qui résulterait d’un grand nombre de lignes passant par le même point, et les erreurs qu’entraîneraient des sécantes trop obliques sur les asymptotes.

Cherchons l’équation de la courbe ainsi engendrée. Désignons par a et jî les coordonnées du point donné M, par rapportaux asymptotes prises pour axesdesxet des^-, et par xJ ely1 celles du point M'. Il est clair que , si nous exprimons que P'Nf est égal à QM, nous aurons écrit que les triangles N'M'P1 et NMQ sont égaux, et qu’ainsi M,N,= MN. Or, l’équation de la sécante JS5l' est

donc, en y faisant ^=0, nous aurons

Pfe-r— oé mais MQ=a, donc