PS

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d’où séy’—oL^,

équation qui représente effectivement une hyperbole rapportée à ses asymptotes (173 et 230), et qui passe par le point M(a, p), comme ou devait le prévoir; car on peut toujours mener par le point M une sécante qui soit divisée en ce point en deux parties égales.

339. Soient À le sommet de l’hyperbole et CAC' la tangente en ce point, de sorte que OC est égale à l’excentricité. Si l’on tire par le point A la parallèle AD à l’asymptote Y/,

il est clair qu’on aura OD = DA=-OC; ce qui prouve que

les coordonnées asymptotiques d’un sommet sont égales entre elles et à In moitié de l’excentricité. Mais, d’un autre côté, la forme même de l’équation de l’hyperbole rapportée* à ses asymptotes ,

xy—m',

montre que ces coordonnées sont égales à m , de sorte qu’en

prenant une moyenne proportionnelle entre les coordonnées asymptotiques d’un point quelconque, on obtiendra celles d’un sommet de l’hyperbole, et par suite l’excentricité.

540. Ces principes fournissent une solution élégante du problème suivant.

Fig. ns Problème. Deux diamètres conjugués AA' et BB' d’une hyperbole étant donnés de grandeur et de position, construire les axes.

Il résulte du n° 505 que les axes d’une hyperbole divisent en deux parties égales les angles que font les asymptotes : en conséquence, sur OA et OB on construira un parallélogramme OBCA; on prolongera CA d’une quantité C'A égale à CA; on joindra le centre O aux points C et C par des droites indéfinies qui seront les asymptotes, et en tirant les bissectrices X^ret Y)' des angles formés par ces droites, on aura les directions des deux axes. Si le diamètre A'A est celui qui rencontre la courbe, X.r sera la direction de l’axe réel, et Y y celle de l’axe imaginaire.

Maintenant, pour déterminer les longueurs des axes, j«f joins AB', de sorte que OD et DA sont les coordonnées asymptotiques du point A de l’hyperbole , puisque AB' est parallèle à OC; mais DE=OD; car l’angle DEO, égal à EOK, l’est par conséquent à DOE : si donc je décris une circonférence sur AE comme diamètre, et que je mène par le point D une corde GI perpendiculaire à AE, cette corde sera l’excentricité, parce que sa moitié CD est moyenne proportionnelle entre les coordonnées asymptotiques de A. 11 ne reste plus qu à décrire une circonférence du point O comme centre avec Gl pour rayon, ce qui déterminera les foyers F et F, et en joignant les points où elle coupera les directions des asymptotes, »on aura les longueurs FP et Q'Q de ses axes.

541. Nous allons nous proposer de mener une tangente à l’hyperbole, en supposant que cette courbe soit tracée , ainsi que ses asymptotes.

La tangente doit passer par un point donné M de l’hy- Fig. in perbole. Prenez PT=0P et tirez MT (505).

542. Tangente par un point donné sur le plan de f hyperbole. En raisonnant comme au n° 279, on trouvera

%y-\- px — 2 m'— 0 ,

HYPERBOI.E. — ASYMPTOTES.

pour l’équation de la corde de contact, et on la déterminera en construisant les points

où elle coupe les asymptotes, ce qui est facile, car la détermination de m , qui est l’abscisse d’un sommet (339), est très-simple.

343. Ces valeurs de x et de y manifestent une propriété remarquable, savoir, que les deux tangentes issues du point (a, sont menées à une seule branche ou à toutes deux, suivant que ce point est ou n’est pas situé dans l’angle asymptotique ; car, dans le premier cas, a et.(i sont toutes deux positives ou toutes deux négatives, et il en est de même de x et de^>-. C’est le contraire dans le second cas.

344. La tangente doit être parallèle à une droite don- Fig. lis née. Soient

y=zkx-\-n

, l'équation de la droite donnée RS, et (a/, /') les coordonnées inconnues du point de contact; le coefficient angulaire

de la tangente en ce point étant — ^7, les équations du problème seront

— ^—k et jdy=rni1

de sorte que le point de contact sera à l’intersection de l’hyperbole avec la droite

y=—kx.

Pour construire cette corde de contact, on mènera par le centre une parallèle OP à la droite donnée RS, puis, d’un point quelconque A de OP, on tirera une parallèle AB à l’axe des abscisses, on prolongera cette parallèle d’une quantité BA'=BA, et en joignant le centre au point A', on aura la direction de la droite

JT— —kx\

car les points A et A' ont la même ordonnée OB , mais leurs abscisses AB et BA' sont égales et de signes contraires. Le

problème serait donc impossible si la parallèle OA à la droite RS était tracée dans l’angle asymptotique (531 et 334).

11 est facile de voir que cette droite OA' est le conjugué de OA. Traçons, en effet, une parallèle quelconque NN' à OA, puis par le point N où elle coupe l’asymptote Y y tirons une parallèle PP' à Xx que nous terminerons aux deux diamètres OA et OA', et joignons P'N'. Nous aurons ON'=PN — NP'; donc le quadrilatère ONP'N' est un parallélogramme; donc le point G intersection de ses diagonales est le milieu de NN', et par conséquent de MM' (337). Notre construction revient donc à celle donnée au n° 33 1 .

11 suit de là que la condition necessaire et suffisante pour que deux diamètres soient conjugués, c’est que leurs coefficients angulaires soient égaux et de signes contraires , quand l’hyperbole est rapportée à ses asymptotes. Telle est donc aussi (511) la relation qui existe entre les coefficients angulaires de deux cordes supplémentaires'".

343. Il résulte du principe établi au n° 172, que pour que la courbe représentée par l’équation générale du se- * cond degré entre deux indéterminées x et^, ait pour asymp-4 totes les axes des coordonnées , il faut qu’elle renferme seulement le rectangle des variables et un terme constant; sans quoi x ni jr ne tendrait pas vers zéro, lorsque y ou x croîtrait au delà de toute limite assignable. Il est donc inutile que nous nous arrêtions à passer de l’équation d’une hyperbole rapportée à des axes rectangulaires quelconques à celle de cette hyperbole relative à ses asymptotes; car nous avons traité très-généralement au n° 250 la question de ramener l’équation générale du second degré à la .forme

* Ën raisonnant comme an n° 244, on verra qu’en appelant (x',y) les coordonnées asymtotiques de C, (•*", r) celles de M , k et k' les coefficients angulaires des cordes CM et C'M, on a les quatre équations

xy—m1, —

entre lesquelles il s’agit d’éliminer x,y etr'. On tire des deux dernières

*r=*y; d’où j

et par conséquent

de là k=z—k'.

r-fx"