ASYMPTOTES

xjr=m î‘. Nous observerons toutefois que, si l’on prenait pour point de départ l’équation aux axes principaux

(fjé — b‘lj.1-^-a,b'—û,

on pourrait abréger le calcul en observant que le triangle COA Fig. 117 donne

de sorte que

cosa=-

cosa=-.

sina

sma :

puisque l’angle a=360“ — J. Les formules de transformation seraient ainsi

346. Nous terminerons cette exposition des propriétés asymptotiques de l’hyperbole en prouvant que faire du parallélogramme construit sur les coordonnées asymptotiques d’un point quelconque de cette courbe, est constante et égale au huitième de celle du rectangle construit sur les axes.

En effet, de l’équation de l’hyperbole xy=.rrf, on tire .rysinû=/»’sin9 ; donc l’aire du parallélogramme OPMQ Fig. m est égale à celle de la losange construite sur les coordonnées du sommet , 6 désignant l’angle des asymptotes. Mais cette losange est la moitié du triangle COC', lequel est le quart du rectangle construit sur les axes. Donc, etc.

§ VIII. De l’aire de l’hyperbole.

* 347. Nous allons nous proposer d’ évaluer faire com- Fig. 120 prise entre un arc AB d’hyperbole, f asymptote Xx et les ordonnées AC et BD des deux extrémités de cet arc; car il est clair qu’il sera facile d’en déduire l’aire de tout autre espace hyperbolique.

Je divise CD en un nombre quelconque n de parties CC,,

C,C,, C,C3, ... C^D ; je mène les ordonnées C,a,, C /?,, C/7S, ...C,,a„,, et je tire par chacun des points A, a,, a ,, a,,

B des parallèles à l’axe des x. Il est clair que nous formerons ainsi deux séries de parallélogrammes, les uns intérieurs, les autres extérieurs au segment hyperbolique

368 UÊ0MÊTR1E ANALYTIQUE.

CABD, de sorte que si nous prouvons que le rapport de la somme des parallélogrammes extérieurs à celle des parallélogrammes intérieurs converge vers l’unité, lorsque n tend vers l’infini, il sera démontré qu’en prenant la limite de l’une de ces sommes, on aura l’aire hyperbolique demandée.

Soient xj=mi

l’équation de l’hyperbole, fl, .r,, xt ... b les abscisses des points À, fl,, fl,, ...fl„,, B; les ordonnées correspondantes . ni* m* m1 m% ni1 ,

auront pour expression — , — , — , ... — , -j-, de sorte que,

(J Xj X) •*%«— 1 P

si l’on désigne d’ailleurs par 6 l’angle des asymptotes, on aura Aire CA1=(j?1— fl).^j-sinÔ=^~ — l^m'sinô,

Aire C,A, ==(~ — 1^/flJsin9,

Aire QAa —(^ — 1^/»*sin6,

Aire C__,A

/«!sin9.

Comme l’espacement des points C,, C,, ... C„,, est tout à fait arbitraire, nous pouvons supposer que l’on ait divisé l’inter-

valle CD de telle manière que les rapports—, — , —, ... —

soient égaux, c’est-à-dire que les abscisses a, xt, x, ... xn,, b forment une progression géométrique; alors les aires de tous nos parallélogrammes extérieurs seront égales, et leur somme S aura ainsi pour expression

S=n m’sinfi.

Or, il est facile de voir que l’aire du parallélogramme Cfl, est égale à ^ m* sin 6, de sorte que la sommes de tous les parallélogrammes intérieurs sera donnée par la formule j=/i^l — j-^/n’sinô.

Donc

fL-1