HYPERBOLE. — MESURE DE SON AIRE

Mais ^ , raison d’une progression par quotient composée de (« + *) termes dont les deux extrêmes sont a et b , est égale à quantité qui a pour limite l’unité, lorsqu’on suppose que n croît au delà de toute grandeur assignable ( Arithmétique, 5013); donc la limite du rapport ^ est l’unité et, par

conséquent, l’aire II de notre segment hyperbolique est la limite commune de S et de s. 11 s’agit donc de calculer cette

limite, c’est-à-dire celle du produit n(^ — — 1^.

Or, si l'on considère le système des logarithmes népériens {Algèbre y note du n° 582).

r - ... ("I ( ot) a: (l-j-a)— *: (1-j-a)— * : 1 ; (1 -j-a) : (t-j-a)*; (J-j-a)*: . .... — 3a . — 2a . — a .0. a . 2a . 3a

On pourra toujours regarder les nombres a et b comme fai- *sant partie de la progression géométrique, puisqu’elle présente toutes les nuances de la grandeur, à partir de l’unité. Supposons donc

a=(1-f-a)m et b—{\ -|-a)’ri+’' de sorte que les logarithmes de a et de b sont ma. et (/ra-|-«)a.

Comme il y a (n — 1 ) tenues entre a et b , on a {Arithmétique, 24o)

et par conséquent

1^=na=L4— •Læ=L-,

en désignant par la lettre L les logarithmes pris dans le système que Néper a considéré *. Donc on aura

H=w,sin9L-

* Cette méthode, pour trouver la limite de n{^~ — ^ M. Courtois, professeur distingué au collège de Grenoble.

est due à

Si l’hyperbole est équilatère, que son excentricité soit égale à 2 et que a = 1 , celte équation se réduira à

D’où l’on voit que le logarithme népérien d’un nombre exprime l’aire d’un segment d' hyperbole équilatère, cette aire étant comptée depuis b abscisse 1 jusqu’à l'abscisse égale à ce nombre. Voilà pourquoi on appelait autrefois ces logarithmes des logarithmes hyperboliques.

Si l’on suppose seulement que a= 1 , l’équation [3] devient

Hzxrm’sinÛ.LÀ [4],

et si l’on prend les logarithmes dans le système dont le module est m’sinO, on aura simplement

TJ = log 4;

ainsi les aires hyperboliques sont les logarithmes des al>scisses correspondantes , élégant théorème que Grégoire de Saint-Vincent a découvert en cherchant la quadrature du cercle.

Si l’abscisse b est infinie , log b l’est aussi , de sorte que l’aire comprise entre l’hyperbole et ses asymptotes peut dépasser toute grandeur assignable.

Si b est moindre que l’unité, log b est une quantité négative, et cela doit être ; car, puisque nous avons supposé a—\ , l’aire H est située à gauche de l’ordonnée CA, et, par conséquent, son expression analytique doit changer de signe.

Si b est négative, log b est imaginaire, ce qui nous indique que la formule [31 n’est pas applicable au cas de 4<0; et, en effet, lorsque/; passe du positif au négatif, H passe par l’infini, et par conséquent cette aire varie d’une manière discontinue, de sorte qu’il n’y a plus de liaison entre les parties de l’aire demandée.

Pour exprimer la formule [3j dans le système des logarithmes vulgaires oy de Briggs, il faut multiplier le logarithme népérien de -par le module {Algèbre,, 393), c’est-àdire par le logarithme vulgaire de la base c dîi système népé-