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On tirera facilement de ce théorème le moyen de partager un secteur hyperbolique en deux parties équivalentes.

§ IX. Applications.

350. Problème. Décrire une hyperbole dont on con- Fig. 122 naît un foyer F et trois points M , M', M".

On traitera ce problème comme celui du n" 298 , mais en observant toutefois que la directrice pouvant passer entre deux des points donnés, il n’y aura pas de raison pour diriger les parallèles menées par M' et par M7 à MF dans le même sens que cette droite plutôt que dans le sens contraire, et qu ainsi il y aura quatre solutions, parmi lesquelles pourront se trouver des ellipses, et même des paraboles, si la perpen-

diculairc abaissée de l’un des points donnés M, sur la directrice, est plus grande que MF ou égale à MF (282).

Quant à la solution analytique du même problème , il n’y aura rien à changer dans celle que nous avons donnée au n° 299, sinon, que les signes placés devant les quantités connues p', pw, pw ne se correspondront plus. Il en résultera donc huit systèmes de trois équations; mais il est facile de prouver que quatre de ces systèmes donneront pour les inconnues ni, n et p des valeurs qui ne différeront de celles tirées des quatre autres que par les signes, de sorte qu’en substituant ces valeurs dans l’équation (my-fnx-\-pf,

on n’obtiendra pas de nouvelles équations , et le problème n’aura ainsi que quatre solutions.

3i) I . I. Démontrer que si, par un point quelconque dune hyperbole , on mène h une asymptote une parallèle terminée à une directrice , cette parallèle sera égale a la distance du foyer correspondant an point dont il s’agit.

II. Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, un foyer et un point (551, I). — Si le point n’est pas donné, il y a une infinité d hyperboles qui satisfont à la question; construire par points le lieu des sommets de toutes ces hyperboles (on se donnera la direction de l’axe transverse), et déduire de ce tracé l’équation de la. courbe .

— Discuter l équation. — Pouvait-on prévoir que te lieu passerait par le foyer, par sa projection sur l’asymptote?

— Peut-on reconnaître quels sommets sont situés sur le na tal? — Que / est le lieu des seconds foyers ?

III. Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, une ilirectrice et un point (351, I). — Indiquer lu marche à suivre pour trouver l’équation de la courbe ainsi déterminée.