THÉORIE DE LA PARABOLE

§ I. Construction de la parabole par points.

352. L’équation générale de la parabole peut toujours se ramener à la forme

y =2 px,

et alors l’axe des x est un diamètre, et l’axe des^-, parallèle menée aux cordes conjuguées de ce diamètre par le point où il rencontre la courbe, est tangent à cette courbe (189, 2°). La constante 2p se nomme le paramètre du diamètre dont il s’agit. C’est, comme on voit, une troisième proportionnelle à l’abscisse d’un point quelconque de la parabole et à son ordonnée. Si l’on observe que pour .£==/, l'équation j"ï=2/J.r donne x—y=2p, on en conclut que pour trouver le paramètre d’un diamètre de la parabole, il n’y a qu’à chercher sur cette courbe un point dont les coordonnées relatives à ce diamètre et à la tangente à son extrémité soient égales, ce qui est facile, et les coordonnées de ce point seront égales au paramètre cherché.

353. Il est facile de construire une parabole par points, lorsqu’on connaît un diamètre OX , son paramètre 2p et la tangente Yy à l extrémité de ce diamètre. En effet, l’équation de cette courbe étant^= 2 px, on voit que l’ordonnée d'un point quelconque est une moyenne proportionnelle entre son abscisse et 2p. Si donc OP est une abscisse quelconque, on prendra sur le prolongement du diamètre une longueur OA = 2p, on décrira une demi-circonférence sur AP comme diamètre , et la portion OB déterminée par cette circonférence sur la perpendiculaire élevée en O sur OX sera égale à l’ordonnée du point P. Donc si les coordonnées sont rectangulaires, on n aura qu’à mener par le point B une parallèle à OX, et le point où elle coupera la perpendiculaire élevée par le point P sur cet axe , sera le point de la parabole dont l’ahscisse est OP.