Il sera encore plus simple de dire : si dans l’équation

de la tangente au point M {pi, y1') de la parabole (i43), on fait j>'=0, il viendra

.r-}-.r'=0, d’où x= — a/;

donc le sommet O est équidistant du pied T de la tangente Fig. 29 et du pied de t ordonnée du point de contact ; par conséquent, TF=a/-|-^; mais MF est aussi égal à.r'-|-~(3o8) :

donc TF = MF; donc l’angle TMF est égal à MTF, et par conséquent à son correspondant T'MC.

363- Nous venons de reconnaître que le sommet de la parabole était équidistant du pied de la tangente menée en un point quelconque et du pied de l’ordonnée de ce point : on déduit de là une démonstration fort simple de ce théorème important : Le paramètre d’ un diamètre quelconque est qiutdruple de la distance du foyer à l'origine de ce diamètre.

Soient, en effet, Çx, f) les coordonnées d’un point quel- Fig. 123 conque M d’une parabole rapportée à son axe et à la tangente à son sommet ; MT la tangente en M; si par le point O on tire la parallèle ON à cette tangente, il est clair que le

oy

paramètre ‘If du diamètre MS sera (332) égal à^-; or,

MN est égal à OT, qui elle-même est égale à l’abscisse x du point M j d’un autre côté, ON ’ ==MT* = kx ^ ,

puisque le point M appartient à la parabole ; do«ic 2//=4(x+f) ; mais,r-j-^ exprime la distance du point M au foyer (558) ; donc, etc.

Fig. 126 364. Problème. Étant donnés un diamètre AX d’une

paraltole , la tangente Yy à /’ extrémité, de ce diamètre , et un point M de la courbe , trouver ses éléments , c’est-àdire son foyer et sa directrice.

J’élève au point A sur le diamètre donné une perpendiculaire sur laquelle je prends une longueur AB égale à l’ordonnée MP du point donné ; je joins BP, et je mène BC perpendiculairement à BP ; AC sera le paramètredu diamètre AX. Par conséquent, si on le partage en quatre parties égales, son quart AD sera la distance du point A au foyer (363) et à la directrice (538) ; donc si l’on élève au point D une perpendiculaire à AX, on aura la directrice ; et si on décrit une circonférence du centre A et avec le rayon AD, elle passera par le foyer. Il n’y aura donc plus qu’à faire au point A un angle FA/ égal à YAX, et le foyer sera déterminé (361).

563. Il suit de là que, si un rayon lumineux, calorifique ou sonore , issu du foyer du paraboloïde engendré en faisant faire à une parabole une demi-révolution autour de son axe, vient tomber sur la surface de ce corps , il se réfléchira parallèlement à cet axe , et réciproquement tous les rayons lumineux, calorifiques ou sonores, qui viendront tomber sur la surface concave de ce paraboloïde , dans une direction parallèle à son axe, se réfléchiront à son foyer.

Fig. 127 Si donc on dispose deux miroirs paraboliques de manière que leurs axes coïncident et qu’ils se présentent leur concavité, les rayons de chaleur émanés d’un corps placé à l’un des foyers iront se réfléchir à l’autre. Deux corps placés aux deux foyers d’un semblable appareil tendront donc à se mettre en équilibre de température.

§ III. Des tangentes.

1er Cas. La parabole est tracée.

Fig. 128 566. Im tangente doit passer par un point donné de la

parabole. Tracez deux cordes parallèles quelconques, dont l’une passe par le point donné M, et joignez leurs milieux :