PARABOLE. — TANGENTES

vous aurez un diamètre, et si, par le point O où il coupe la parabole, vous menez une parallèle à la corde MM', elle sera tangente à cette courbe. Cela posé, si vous prenez ce diamètre et cette tangente pour axes des a; et des y, l’équation de la parabole sera y* = 2px , et par conséquent vous aurez pour celle de la tangente au point M(u/, y')

Xy—p{x-\-£)-,

si donc vous y faites ^==0, vous trouverez a-}-a,==0, d’où x— —

Ainsi, prenez sur le prolongement du diamètre OX une distance ÔT = OP, et en tirant MT, vous obtiendrez la tangente demandée.

567. Si l’on joint MT1, on aura la tangente au point M'; donc le diamètre mené par le point de concours de deu.r tangentes passe par le milieu de la corde de contact.

568. PT est évidemment le double de OP ; donc la soustangente relative à un diamètre quelconque est double de r abscisse du point de contact.

569. La tangente doit passer par un point donné sur Fig. 129 le plan île la parabole. Tirons deux cordes parallèles quelconques ; joignons leurs milieux , et prenons pour axes des X

et des^- le diamètre ainsi déterminé et la parallèle menée à ces cordes par son extrémité O. Soient (a, les coordonnées du point donné C, et 2/> le paramètre du diamètre OX : on trouvera facilement (279) que l’équation de la corde de contact est

fir=. =/<*+*)•

Pour la construire, nous chercherons les points où elle coupe les axes, ce qui nous donnera

x——u et y=p-y

Nous prendrons donc OP'=OP, et Pf sera le point où la corde de contact coupe l’axe des x. Quant à la valeur de y, j’observe que si, dans l’équation delà tangente aupoint(j/,^'),

je fais ar = 0, j’en tirerai y=p.- 7 ; d’où l’on voit que, si le

rapport — était égal au rapport -, la tangente au point (xi, y1) r K

couperait Taxe des y au même point que notre corde de contact. En conséquence, je tire la droite OC qui coupe la parabole au point N, je mène NQ parallèle à l’axe des y , et

j’ai évidemment c’est-à-dire Je prends donc

OQ,= OQ, je joins Q'N et OG=/> . p • r- Il n’y a donc

plus qu’à mener une droite indéfinie par les points P' et G, et à joindre les points où elle coupera la parabole avec le point C, et le problème sera résolu.

370. Im, tangente doit être parallèle à une droite donnée. (V oy. le n° 281 .) Pour que le problème soit possible , il faut que la droite donnée ne soit pas un diamètre.

2e Cas. La parabole est déterminée par son foyer et par sa directrice.

Fig. 29 371. La tangente doit passer par un point G donné

sur le plan de la parabole. Supposons le problème résolu , que MT soit la tangente demandée et M le point de contact. Joignons MF et abaissons la perpendiculaire MD sur la directrice. La tangente partagera l’angle FMD en deux parties égales (361) ; et comme MF=MD, il en résulte qu’elle est perpendiculaire sur le milieu de FD, de sorte que le point G est équidistant des points F et D. Donc, pour résoudre le problème, il suffira de décrire une circonférence du point G comme centre et avec le rayon GF, de joindre le foyer F au point D où cette circonférence coupera la directrice, et d’abaisser du point G une perpendiculaire sur FD. En élevant ensuite par le point D une perpendiculaire à la directrice, on déterminera le point M de contact.

Le problème aura autant de solutions que la circonférence que nous avons décrite coupera de fois la directrice. Si le point G est extérieur à la parabole, il sera plus près de la directrice que du foyer (389) ; donc la circonférence rencontrera cette droite en deux points, et le problème aura deux solutions.

Si le point G est sur la courbe, il est équidistant de F et de DD', de sorte que la circonférence sera tangente à la directrice, et il n’y aura qu’une solution*.

* On pourrait encore abaisser de F une perpendiculaire indéfinie sur