PARABOLE. — TANGENTES

Si le point G est situé dans l’intérieur de la parabole , il est plus près du foyer que de la directrice (359), et par conséquent cette droite n’étant pas rencontrée par la circonférence , le problème est impossible.

11 serait facile de déduire la construction précédente de celle que nous avons donnée pour mener une tangente à l’ellipse (‘282), en observant que la circonférence décrite du foyer l,'f comme centre avec ‘la pour rayon coupe la direction du Fig. 12s grand axe, à une distance AE du point A égale à la constante AF, et que, quand 2 a devient infini, celte circonférence devient ainsi la directrice Diy.

372. Comme la tangente GM est perpendiculaire sur le Fig. 2» milieu de DF, ce milieu est la projection du foyer sur cette tangente; mais ce milieu se trouve aussi sur la tangente Yy

au sommet O, puisque OA=OF : donc la tangente au sommet d’une parabole est le lieu des projections du foyer de cette courbe sur toutes ses tangentes.

373. Si le point donné est situé en I sur la directrice, les deux tangentes issues de ce point, étant les bissectrices des angles supplémentaires DIF et D'IF, se couperont à angles droits; déplus, légalité des triangles DIM et FIM, DrlM'/et Mr<lF, qui ont un angle égal compris entre côtés égaux , prouve que les angles IFM et IFM" sont droits, et que par conséquent MFM" est une ligne droite. On voit encore que 1 étant le milieu de Diy, un diamètre mené par le point 1 coupera la corde MM" en deux parties égales.

Donc, si ton fait mouvoir une équerre de manière que les cotés de l’angle droit restent constamment tangents à la parafkde, son sommet décrira la directrice* , la corde de contact tournera autour du foyer, en restant perpendicu-

la directrice , prendre le milieu O de FA , puis OT égale à l’abscisse OP du ]>oint de contact M et joindre MT. '

’ Supposons, en effet, que l’équerre puisse avoir la position MGM'": on pourrait du point I où le côté MG rencontre la directrice mener une seconde tangente IM" à la parabole, et cette tangente serait parallèle à GM”’} or, il est impossible que deux tangentes à la parabole soient parallèles ; car il n’y a pas sur cette courbe deux points qui aient la menic ordonnée, et le coefficient angulaire de la tangente au point (x, y)

luire à la droite qui joint ce point au sommet mobile , et sera coupée en son milieu par le diamètre tiré par le sommet de r équerre.

130 374. La tangente doit être parallèle à une droite

donnée. En raisonnant comme au n° 371, on verra que, pour résoudre le problème , il faut abaisser du foyer une perpendiculaire sur la droite donnée RS, et élever une perpendiculaire sur le milieu de la partie de cette perpendiculaire , qui sera comprise entre le foyer et la directrice.

575. L’équation de la tangente à la parabole exprimée en fonction de l’angle qu’elle fait avec l’axe des x est (286)

■r=nuc+û

§ IV. Des normales.

1 w Cas. La parabole est tracée.

576. 1m normale doit passer par un point donné sur la parabole. Menez une tangente en ce point, et élevez-lui ensuite une perpendiculaire.

377. Si l’on rapporte la parabole à son axe et à la tangente au sommet (il est facile d’avoir l’axe et le foyer par la construction donnée au n° 536), l’équation de la normale au point sera

avec la condition y*— 2 pé,

2 p désignant le paramètre de l’axe. Si donc on faifî/=0 dans cette équation , on en tirera

la sous-normale est donc constante et égale à la moitié du paramètre. Ce qui fournit un second moyen de résoudre le problème proposé.

.131 378. La distance du sommet au pied de la normale étant

égale à a/-j -p, on voit que ce pied peut s’éloigner indéfiniment du sommet, mais qu’il s’en approche à mesure que d diminue; et comme la limite de la quantité é-\-p est p, on voit que, si on prend sur l’axe une distance FL=FO, le point

L sera une limite dont le pied de la normale, toujours situé à droite de L, s’approchera indéfiniment à mesure que l’origine (j/,y) de cette normale s’approchera elle-même indéfiniment du sommet O.

379. Iji normale doit passer par un point donne sur le plan de la parabole. On commencera par déterminer Taxe et le paramètre de cette courbe (336), et on la rapportera à cet axe et à la tangente à son extrémité; puis, en désignant par a et p les coordonnées du point donné C, et par./^et^J celles de l’origine M de la normale, on verra, en raisonnant comme au n° 279, que ces coordonnées sont les solutions communes aux deux équations

y=2px [2],

de sorte qu’en construisant l’hyperbole équilatère représentée par la première de ces deux équations, et en joignant les points où elle coupera la parabole avec le point C, on aura toutes les solutions du problème.

Or, on peut substituer un cercle à cette hyperbole équilatère. En effet, si nous éliminons jr entre l’équation [2] et léquation [1] multipliée par y, il viendra

et si nous ajoutons cette dernière à l’équation [2], nous trouverons

de sorte que l’on peut remplacer le système des équations [1] et [2] par celui des équations [2] et [3], et qu’en conséquence les points demandés seront ceux même où la circonférence représentée par l’équation [3] coupe la parabole. Il y aura, au moins, deux intersections, puisque la circonférence passe par l’origine; mais cette origine est une solution étrangère; car elle a été introduite en multipliant l’équation [1] par^\

Les coordonnées du centre de ce cercle sont et ^ , ainsi il sera facile de construire l’équation [3].

Comme une circonférence de cercle peut couper une parabol| en deux, trois ou quatre points, on voit que par un point donné on peut toujours mener une, ou deux , ou trois normales à une parabole. Nous allons examiner quelle pos ition • il convient d'assigner au point donne C(a, fi), pour que le problème admette une , lieux ou trois solution s.

J’élimine x entre les équations [1 J et [2], et je trouve

y+tyip— *)r— 2/p=0 [4],

équation qui a pour racines les ordonnées des points d’incidence des normales.

Cette équation a toujours une racine réelle : ainsi le problème a au moins une solution , ce qui s’accorde avec la construction géométrique.

Pour qu’il n’y ait que deux solutions, il faut et il suffit que l’équation [4] ait deux racines égales, c’est-à-dire que l’on

ait 8 (/> — a)'-}-27/>fi,=0 [5];

et comme les coordonnées du point C ne sont assujetties qu’à cette seule condition , on en conclut qu’il y a une infinité de points desquels on peut mener deux normales seulement à la parabole, et que l’cquation [5| est le lieu de tous ces points. Cette courbe ZLZ', que l’on appelle la seconde parabole 1 cubique, rencontre l’axe des .r, au point L situé à la distance p de l’origine, ce qui s’accorde avec ce que nous avons vu au n° 37 B; elle est symétrique par rapport à l’axe des x , et s’éloigne indéfiniment des deux axes des coordonnées. De plus, si l’on cherche le coefficient angulaire de là tangente a cette courbe au point (a, fi), on trouvera qu’il est égal à

* tyfi ^ 3 y -p ’

quantité qui se réduit à zéro pour a —p et à oc pour a=oo. Ainsi la courbe ZLZ' est tangente au point L à l’axe des xy auquel elle est, en conséquence convexe aux environs de ce point; et la direction de ses derniers éléments étant perpendiculaire à cet axe, elle finit par lui présenter encore sa convexité. Elle est donc constamment convexe vers .rX , puisqu’elle ne peut pas être coupée en plus de trois points par une ligne droite ((>3). »

Pour que l’on puisse mener du point C trois normales à la parabole , il faut que les trois racines de l’équation [4] soient réelles, et que l’on ait en conséquence

8(/> — «)5 -f- 27 pp < 0 :

or, cette condition exprime que le point C est intérieur à la courbe ZLZ', c’est-à-dire qu’il est situé dans la partie du plan limitée par la convexité de cette courbe; donc ZLZ' partage le plan en deux régions telles que, de tous les points de celle qui est limitée par la concavité de la seconde parabole cubique, on ne peut mener qu’une seule normale à la parabole, tandis que de tous les points de l’autre on peut en mener trois.

De simples considérations géométriques mettent ce résultat en évidence. En effet, il suit d’abord de la génération de la courbe ZLZ' que, comme elle est le lieu des points d’intersection de chaque normale à la parabole avec la suivante *, chacune de ces normales lui est tangente, puisqu’elle a un élément commun avec cette courbe, et que réciproquement toute tangente à ZLZ' est une normale à la parabole. Il est facile de voir ensuite que de tons les points de la région ZLZ'X on peut mener trois tangentes à la courbe ZLZ', tandis que de la région ZarZ'L on ne peut en tirer qu’une seule, et que par chaque point de cette courbe on peut lui mener deux tangentes. Pour le faire voir, concevons qu’une tangente indéfinie TMS glisse sur cette courbe. Si le point de contact M est en L , cette tangente coïncidera avec l’axe des x ; mais si ce point s’élève sur la branche LZ , la portion MS de la tangente , qui est située à droite du point de contact, parcourra tout l’espace ZLX , et viendra ainsi passer par un point quelconque C de cet espace; mais cette tangente coupant successivement l’axe des x en tous ses points, sa partie MT décrira tout l’espace xZ'XZL; car l’inclinaison de cette tangente sur l’axe des x croît depuis 0° jusqu’à 90°; elle viendra donc aussi passer par le point C ; donc on peut tirer par ce point deux tangentes à la branche LZ, tandis que de tout point situé

* N’oubliez pas que l’équation [S] exprimant que deux racines de l’équation [4] sont égales, deux des trois normales sont venues se confondre.

au-dessous de l’axe des x on ne peut lui en mener qu'une seule, puisque TS ne rencontrera ce point qu’une seule fois. C’est l'inverse pour la branche LZ', de sorte que par le point C -** on ne peut tracer qu’une seule tangente à cette branche. Donc, enfin, de tout point de l’espace LZ'XZL, on tirera trois tangentes à la courbe ZLZ'; des points mêmes de cette courbe on peut lui en mener deux , et il n’y en a plus qu’une seule qui puisse passer par chacun des autres points du plan.

La courbe ZLZ' se nomme aussi la développée de la parabole, et celle-ci est dite, au contraire, la développante de ZLZ'.

580. Problème. Trouver f équation de la courbç décrite par le sommet d’un angle droit dont les côtés sont com stamment normaux h la parabole.

La solution de ce problème résulte très-simplement det’equa-

tion J 4]. En effet, — étant le coefficient angulaire de la

normale au point dont l’ordonnée est j-, le produit des deux valeurs qu’on obtient en remplaçant y par deux racines de

l’équation [4] dans la fonction — - devra être égal à — 1 ,

puisque les deux côtés de notre équerre se coupent à angles droits; il faut donc que le produit de ces deux racines soit — y/ ; mais le produit des racines de l’équation [4] est 2 p'fi;

donc — 2 fi est la troisième racine de cette équation;

ainsi , cette équation devra être vérifiée par la substitution de — 2fJ à la place de y , substitution qui donne

Cette équation se décompose dans les deux suivantes :

fP=0, et P— 2 («“t)*

La première de ces équations est une solution étrangère ; quant à la seconde, elle représente une parabole de même axe que la proposée, qui a un paramètre quatre fois moindre que celui de cette courbe, et dont le sommet est à une distance de la directrice égale aux trois quarts du paramètre '2p. 381- On peut résoudre ce problème directement de la

manière suivante, qui est remarquable par la symétrie des calculs auxquels elle donne lieu.

Soient (V, >J) et {f , y") les coordonnées des points où les deux côtes de l’angle droit coupent la parabole : on trouvera facilement que les équations du problème sont

* sy+i*= o,

de sorte qu’il ne s’agira ensuite que d’éliminer .é, y, x1' etf ei^tre ces cinq équations. Pour cela, on éliminera xf entre les équations du premier système , ce qui donnera

Mais, si l’on éliminait x!' entre les équations du second système, on obtiendrait évidemment une équation qui ne différerait de celle-ci que parce que y' y serait remplacé par y" : donc y1 et y" sont racines de l’équation [6] ; car f n’est pas égal à y" ; de sorte qu’en vertu de l’équation 0 ,

le produit de deux des trois racines de cette équation est — -p‘,

donc la troisième de ces racines est-^-,= — 2/; donc l’équation [6] doit être vérifiée en y remplaçant y* par — 2/; donc, etc.

382. La normale doit être parallèle à une droite donnée (289).

•tk

2* Cas. La parabole est déterminée par son foyer et par sa directrice.

383. La normale doit passer par un point donné sur * le plan de la parabole. On suivra la méthode que nous avons indiquée au n“ 290, à moins que l’on ne préfère décrire d’abord la parabole, et exécuter ensuite la construction donnée au n° 379.

384. La normale doit être parallèle à une droite donnée (291).

Fig. 132

§ V. De l’aire de la parabole.

585. Nous allons chercher à évaluer l'aire d’un segment OAB, compris entre un arc OB de parabole , le diamètre OX et l' ordonnée de t extrémité de cet arc, cette ordonnée étant comptée parallèlement aux cordes con juguées du diamètre OX. Si l’on observe que la somme de cette aire et de celle du segment OCB est égale à l’aire du parallélogramme OABCO, on en conclura que si l’on pouv^t déterminer le rapport des deux aires OAB = S et OCB = j, il serait facile d’en déduire les valeurs de chacune d’elles.

Je divise OA en un nombre quelconque n de parties OA,, A,A,,.. A^A; je mène les ordonnées A,M,, AjM,,.. AA, et je tire par chacun des points M,, M,,... M„,, des parallèles au diamètre OX. Nous formerons ainsi deux séries de parallélogrammes P,, P,,.... P,-,, elpt, pt,... p^, intérieurs, les uns ’au segment OAB, et les autres au segment OCB : S et s sont les limites respectives vers lesquelles tendront la somme des premiers et la somme des seconds, lorsque n deviendra plus grand que toute quantité assignable ( note du n° 296;.

Désignons les coordonnées des points M,, M,,... respectivement par (xt, r,),... celles

du point B par (a, o), et l’angle des axes par 9 : nous aurons évidemment

donc

Mais

— -^0 si" ô , Pi=^ir—Pi) sin6;

jiOi— Ji)

p\ •z'tCt'i — j0"

jli — 2pxl, pf = 2pxt, partant ^ — 1 -f j’i

par conséquent aussi

Pt 1 jt p» ' y* Pn~i 1 r«-t

Comme l’espacement des points A,, A,,... A, , est tout à fait arbitraire , on peut supposer que l’on ait divisé l’intervalle OA

de telle manière que les rapports - , — ,... — — soient égaux,

c’est-à-dire que les ordonnées des points de division for-