PARABOLE. — MESURE DE SON AIRE

ment une progression par quotient; alors tous les rapports PP P '

— , “>••• seront égaux, et on aura par conséquent P, + P.+ „- + Pn-,=P^.1 | *

Pl +/'1+ +/>— . Pn^l 'fn-*'

Or, on peut prendre n assez grand pour que l’ordonnée y^ diffère de b d’aussi peu qu’on voudra; donc le second membre de cette équation tendra vers le nombre 2, à mesure que n augmentera; mais en même temps le premier

convergera vers le rapport donc, eu vertu du principe * des limites (Arithmétique , 210), on aura

et comme S-j-j=a^sin9, on aura enfin

S=x«ÆsinO et ,r=-aésinÔ.

Ainsi , l'aire du segment parabolique compris entre la courbe , un diamètre et une ordonnée a ce diamètre , est les deux tiers du parallélogramme déterminé par cette ordonnée et la partie correspondante de ce diamètre.

On trouvera facilement que l’aire du segment OBO, compris entre un arc de parabole et sa corde , a pour expression

\ab sinQ.

§ VI. Applications.

386. Problèmes. I. Décrire une parabole dont on connaît le foyer et deux points. — Trouver V équation de cette courbe.

\ II- Construire une parabole qui ait pour sommet un /joint donné A, et qui touche une droite donnée MT en un point donné M.

Joignez AM et décrivez sur cette droite une circonférence; Fig. 1.33 puis prolongez MA d’une quantité AM' = MA, tirez parle point M' une parallèle à MT, et, en joignant le point A avec un des points où cette parallèle rencontre la circonférence,

vous aurez la direction de l’axe et le pied de l’ordonnée du point M, etc. (366 et 572).

Résoudre le même problème par le calcul. Prenez MT pour axe des x et la perpendiculaire menée à cette tangente par le point M pour axe des y. L’équation de la parabole demandée sera de la forme

y'1 -j~ 2axy-j- aV -^-by—0 ,

et si (a, p) désignent les coordonnées du sommet A, on aura p,+2««p-fa,a'+^=0 [7].

Le coefficient angulaire d’un diamètre quelconque étant (190) — a, on obtiendra l’équation de l’axe en faisant m=-

dans la formule [5] du n“ 1 88 , appliquée à l’équation proposée, et en écrivant ensuite que cet axe passe par le point A , on trouvera

'2ouê— J— 2pû*— j — 2ow/ — J — — | — 0 [8J.

Il ne s’agira plus que de tirer des équations [7 ] et [8] les valeurs de a et de b, et de les substituer dans l’équation de la courbe.

Si le point de contact n’est pas donné, il y aura une infinité de paraboles qui, ayant le point A pour sommet commun, pourront être tangentes à la droite MT : trouver le lieu îles foyers de toutes ces paraboles.

Prenez le point A pour origine, une perpendiculaire et une parallèle menées par ce point à la tangente MT pour axes des ^et des x, et faites usage de l’équation aux foyers; vous aurez immédiatement les deux équations de condition

P ous exprimerez que l'origine est un sommet , en écrivant que la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice passe par le foyer, ce qui vous donnera

enfin si y= a est l’équation de la droite MT, il faudra que les abscisses des points où elle cpupe la parabole soient égales.