PARABOLE. — APPLICATIONS

IJ ne s’agira plus alors que d’éliminer m , n et p entre l’équation qui exprimera cette condition et les trois précédentes, et vous trouverez

pour l’équation du lieu.

Décrire la courbe par points , et déduire ensuite son équation de ce tracé. Je mène par A une droite quelconque AY que je suppose être l’axe de l’une des paraboles ; puis j’élève au point A une perpendiculaire sur cette droite, et par le point I où elle coupe MT, je tire une perpendiculaire à cette tangente. Le point F où elle rencontrera AV sera le foyer, etc.

III. (Quelle est la courbe décrite par le sommet d'une équerre dont les deux côtés restent constamment tangents à une ellipse donnée ?

L équation d’une tangente quelconque est y—mx-\-\a'fn,-\-b'‘ :

or, si on regarde x et / comme les coordonnées d’un point donné, cette équation déterminera, en fonction de ces coordonnées, les inclinaisons sur l’axe des x des deux tangentes issues de ce point, de sorte qu’en exprimant que ses racines sont réciproques et de signes contraires, on aura l’équation du lieu. C’est xi-\-yî=a’-\ -!/. .

Si b on savait a priori que ce lieu est une courbe du second ordre , pourrait-on en trouver les éléments? — Si l’équerre g lissait sur une hyperbole au lieu de se mouvoir sur une ellipse , quelle serait l’équation du lieu? — Çu’arrivera-t-il si b > a ? — Expliquer ce résultat.

Quel serait le lieu , si la courbe directrice était une parabole ?

IV. Décrire une courbe du secotul ordre qui touche trois droites données, et ait pour foyer un point donné.

Abaissez du foyer donné F des perpendiculaires sur les trois tangentes, et par les pieds de ces perpendiculaires faites passer une circonférence de cercle ; son centre sera celui de l’ellipse ou de l’hyperbole demandée, et en tirant par ce centre et par le point F un diamètre du cercle , vous aurez en grandeur et en position le grand axe ou l’axe transverse de cette courbe. Elle sera une ellipse ou une hyperbole suivant que le

point F sera intérieur ou extérieur à la circonférence, et si cette circonférence n’avait pas pu être tracée, c’est-à-dire, si les pieds des trois perpendiculaires étaient en ligne droite, la courbe demandée serait une parabole qui serait touchée par cette droite en son sommet.

Si Y on demamle l'équation de la courbe trouvée, il n’y aura qu’à partir de l’équation aux foyers , en prenant le point F pour origine des coordonnées rectangulaires.

Y. Décrire une courbe du second ordre connaissant son foyer, sa directrice et une de ses tangentes.

Chercher V équation de cette courbe.

VI. Étant donné un arc d’une courbe du second ordre , déterminer la nature de cette courbe et ses éléments géométriques.

Fig. 194 Tracez dans cet arc deux cordes parallèles quelconques, joignez leurs milieux, et vous aurez ainsi un diamètre. Tirez de même un second diamètre, et alors ces deux diamètres se couperont ou ils seront parallèles. Dans ce dernier cas, la courbe est une parabole, et dans le premier, c’est une ellipse ou une hyperbole, selon que le point d'intersection des deux diamètres est situé dans la concavité de l’arc ou qu’il ne s’y trouve pas.

1" L'arc donné est elliptique. Je mène par le centre O une parallèle OB à MN, et si cette droite rencontre l’arc, j’ai deux diamètres conjugués en grandeur et en direction. Si la droite OB ne rencontre pas l’arc donné, je tire par le point C une parallèle à P,Qr, et cette ligne sera une tangente ; donc si l’on appelle (a/, y1') les coordonnées de C par rapport aux droites OA et OB, qui sont les directions de deux diamètres conjugués, son équation sera

céyÿ H" = a lé,

2 b représentant la longueur du diamètre inconnu BB1 ; de sorte qu’en faisant æ=0, cette équation donnera

yy=/f, c’est-à-dire, OK.OT=/;* ;

ainsi on obtiendra b en cherchant une moyenne proportionnelle entre OK et OT. Connaissant ainsi deux diamètres conjugués de grandeur et de position, il sera facile d’obtenir les axes de l’ellipse (295).

PAHABOLE. — APPLICATIONS.

2° L'are donné est hyperbolique. Répétez la construction précédente, en ayant recours à la méthode du n° 31 2 , quand vous aurez obtenu les directions de deux diamètres conjugués. •'

Remarquons que si du point C) comme centre, on peut décrire une circonférence qui coupe 1 arc donné en deux points, etVest ce qui arrivera le plus souvent , on obtiendra immédiatement les directions des axes et la longueur de l’un d’eux , en joignant un des points d’intersection avec les extrémités du diamètre tiré par l’autre, et menant par le centre des parallèles à ces deux cordes supplémentaires, et la construction précédente déterminera ensuite le second axe.

3° L’arc donné est parabolique. Les données résultant du tracé des deux diamètres sont un diamètre, son extrémité, la direction de ses cordes conjuguées et un point de la parabole; ainsi d'est facile de déterminer les éléments de cette courbe

VII. Déterminer le lieu des sommets de toutes les paraboles comprises dans l’équation

Ÿ — 2axy -J- a V — x =0,

a étant une quantité variable. — Discuter l’ équation.

VIII. Décrire une parabole connaissant , 1° un foyer , une tangente et un point ; 2° la directrice et deux tangentes ; 3° la directrice, une tangente et un point. — Trouver téquation de la courbe ainsi tracée.

IX. Construire une parabole connaissant son foyer, son paramètre et un de ses points. — Chercher t équation de cette parabole. — Discussion.

X. Décrire une parabole connaissant son sommet, son paramétré et un de ses points. — Trouver l’équation de cette courbe.

La distance d’un point de la parabole au sommet est moyenne proportionnelle entre sa projection sur l’axe et cette même projection augmentée du paramètre.

XI. Trouver le lieu des sommets de toutes les paraboles qui ont le même foyer F, et passent par le même point h. — Construire le lieu par points. — Chercher F équation de la courbe ainsi décrite.

XII. Trouver le lieu des projections du foyer d'une parabole sur toutes ses normales. — Discuter l'équation trouvée. — Si l'on savait a priori que le lieu est une courbe du second ordre , serait-il possible de déterminer ses éléments ?

— Pourrait-on résou/ Ire le problème proposé par de pures considérations géométriques P

XIII. Trouver l'équation du lieu des foyers de toutes les hyperboles comprises dans r équation xy=ax-J-by, en supposant i /ue le sommet de chacune soit assujetti à rester sur la parabole av =x’, a et b étant deux variables.

XIV. Couper un hémisphère en deux parties équivalentes par un plan parallèle à la base. — En prenant la hauteur du segment pour inconnue, on trouvera .r1 — 3 /-jJ— J— /'’=0 .

— Combien cette équation a-t-elle de racines réelles? —

1 érifiez-le. — La nature de la question indique-t-elle entre quelles limites se trouvent les racines positives P — Périfiez-le. — ( instruisez la valeur de x. I’osei r1 = ry (88 et 89).