ÉQUATIONS POLAIRES DES COURBES »C SECOND ORDRE

587. Nous nous proposons ici de trouver les équations polaires des trois courbes du second ordre, en prenant pour axe polaire l 'axe focal de chacune de ces courbes et en plaçant le pôle au foyer positif.

Supposons donc que ,r;X étant l’axe focal , F le foyer et O Fig. 28 l’origine des coordonnées rectangulaires, M soit un point de la courbe : si l’on désigne par x et y ses coordonnées rectilignes, par p et w ses coordonnées polaires , et par c l’abscisse du foyer, on aura dans le triangle rectangle FMP

,r=c-j-p cosgj et ^•=psin<o [1],

et ces formulesf qui serviront à rapporter la courbe au système des coordonnées polaires que nous avons choisi , sont générales, comme il est facile de s’en assurer. Cela posé, considérons successivement chacune des trois courbes du second 'ordre. *

388. Elupse. On pourrait obtenir l’équation polaire de cette courbe en remplaçant , dans l’équation aux axes

(ûy'-^-h'x- — a'tf— 0,

ret^par leurs valeurs données par les formules [1]; mais il sera plus simple d’observer que la distance du foyer positif à l’un quelconque des points de l’ellipse ayant pour expression(2t>6)

il suffira pour résoudre le problème de remplacer à par p et x par sa valeur c— |— p cos w. On trouvera ainsi

** rt-j-CCOSw’

car c’=a! — tr . Telle est l’équation polaire de l'ellipse.

398 géométrie analytique.

389. Hyperbole. En supposant cette courbe rapportée à ses axes principaux , on a trouvé qu’en appelant 8 la distance du foyer positif à un point quelconque de la branche positive ou de la branche négative, dont f abscisse est x, on a trouvé (518), dis-je, , ^

&=— — a, ou 8 =— *— -l-o.

En remplaçant encore dans ces formules è par p et x par la valeur donnée par la première des formules [1 j, il viendra

lé

P ■ — > ou p ' * j

' a — ccosw 1 <2-|-ccost»>

puisqu’ici c*=«’-|-/A Dans la discussion de ces formules, il faudra rejeter avec soin les valeurs négatives de p; car elles proviennent d’équations où à, c’est-à-dire p, était une quantité essentiellement positive. 11 résulte de cette restriction que la première représente uniquement la branche positive.de l’hyperbole et qqe la branche négative est le lieu de la seconde. Mais, comme on arrive aux mêmes formules, en partant de l’équation de l’hyperbole rapportée à ses axes principaux * et qu’alors la restriction précédente n’est plus nécessaire, nous regarderons p comme pouvant admettre indifféremment des valeurs positives et négatives^ en convenant que les valeurs négatives du rayon vecteur devront être portées , de l’autre côté du pôle, sur le prolongement de ce rayon. De cette manière, l’une ou l’autre des deux équations précédentes suffira pour représenter l’hyperbole tout entière, ce qui sera beaucoup plus commode et plus conforme à la généralité de l’algèbre. Supposons, en effet, que pour w— to la première

équation donne pour p une valeur positive aj^coswi )> 0 ; si

* En effectuant ce calcul , on trouvera

* (a*sin!o> — è1 cos’iujp5 — il/cç, rosio — è*=0, d’où l’on tirera facilement

té

i — ccosw 1 a -j— c cos (a>

ÉQUATIONS POLAIRES DES COORBES DO SECOND ORDRE. 399 l’on fait dans 4a seconde w=1 80,-j-u/, il viendra

donc pour construire le point

il faudra tirer par le pôle une droite OEf qui fera avec l’axe •’ig- 63 polaire un angle w=1 800-4-a>', et porter la quantité sur son prolongement OM, ce qui donnera le point

déjà donné par la première équation. Les valeurs négatives

de p, données par la seconde formule, construisent donc les points déterminés par les valeurs positives de p fournies par la première, et réciproquement. Donc une seule équation suffit pour représenter l’hyperbole.