DU PÔLE ET DE LA POLAIRE. Û

parallèle aux cordes conjuguées du diamètre tire' par le point donné. x

* 394. Problème. Par un point fixe on mène tant de couples de sécantes que P on coudra à une courbe du second ordre , trouver le lieu des points de concours des droites qui joindront les points où ces sécantes rencontrent cette courbe.

Soient AC et AC un couple de sécantes, il s’agit de trouver Fig. 13: le lieu des points M et M\ Désignons, pour cela, par N et par N', les points harmoniques conjugués de A relativement à B et à C , et à B* et à C : joignons MA et MIN , et nous formerons un faisceau harmonique MABNC, qui devra couper AC en parties harmoniques (158); par conséquent, MN ira passer par N'; donc, le point M est situé sur la direction indéfinie de la droite qui est le lieu des points harmoniques conjugués de A par rapport à la courbe proposée ; et comme on en dirait autant du point M', il faut en conclure que cette droite est précisément le lieu que l’on cherche.

* 593. Le lieu des points M se nomme la polaire du point A, et ce point est appelé réciproquement le pôle de cette droite. Nous verrons bientôt la raison de ces dénominations (401 et 405L

* 396. Nous pourrons, d’après cela, énoncer le lemme (393) en disant que toutes les cordes dont les directions vont passer par un même point intérieur ou extérieur à. une courbe au second ordre , sont coupées en parties harrnoniques par ce point et par sa polaire , laquelle est parallèle aux cordes conjugiuês du diamètre tiré par ce point.

Si le pôle est au centre, E=0; et la valeur de x tirée de 2F

l’équation [2] est — ; donc la polaire du centre est située

à l’infini.

*.397. Si la courbe est une parabole, C=0, et alors

l’abscisse du sommet est — - , tandis que celle du pied de la 2F

polaire est — ; ainsi, dans la parabole, un point et sa

polaire déterminent des segments égaux sur le diamètre tracé par ce point.

* 398. Il suit du n° 393 que si l’on prend pour axe des

abscisses le diamètre passant par le pôle, et pour axe des^ la parallèle menée par ce point aux cordes conjuguées de ce diamètre , les équations de la courbe et de la polaire seront respectivement

Ar,4-Cr>4-Er4-F=0 et Er+2F=0.

Or, si l’on cherche l’équation de la corde qui joindrait les points de contact de deux tangentes issues du pôle (279), on trouvera que l’équation de cette corde est aussi

Ea:-j-2F=0;

donc, la polaire d’un point extérieur à une courbe du second ordre est la droite indéfinie qui passe />ar tes jtoin ts de contact des deux tangentes issues de ce point *, et le pôle dlune sécante est le point de concours des tangentes menées aux points où elle rencontre la courbe.

Si le pôle est intérieur à la courbe, la corde qui joindrait les points de contact des tangentes issues de ce point n’existe plus, mais son équation subsiste toujours : seulement, si l’on cherchait les coordonnées des points où la droite , représentée par cette équation, rencontre la courbe, on trouverait pour valeurs de ces coordonnées, des expressions imaginaires. Ainsi donc, pour obtenir l’équation de la polaire ét un point donné, il n’y aura qu'à opérer comme si ton coulait trouver l’équation de la corde de contact (279) des deux tangentes issues de ce point**.

* 399. La polaire d’un point extérieur à une courbe du second ordre étant la corde de contact des deux tangentes issues de ce point, on en conclut que, pour mener à une pareille courbe une tangente par un point extérieur, il n’y aura qu’à chercher la polaire de ce point (394) et le joindre avec tes points oit elle coupera la courbe. Cette construction peut, comme on voit , s’exécuter avec la règle seulement.

* C’est là une conséquence de la définition même de la polaire; car si la sécante AC' devient tangente , les points M et M' viendront coïncider avec le point de contact T, de sorte que la polaire passera par ce point.

”* C’est ainsi qu’on obtient l’équation de l’axe radical de deux cercles , en cherchant l’cquation de la corde qui joint leurs points d’intersection (131), lors même qu’ils ne se coupent pas.